- •Математика
- •261400.62- Технология художественной обработки материалов
- •Литература
- •Фамилия, имя, отчество; номер студенческого билета; название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта.
- •Определители второго и третьего порядков.
- •Решение системы трех линейных уравнений методами Крамера и Гаусса.
- •Системы координат
- •Решение.
- •1. Используя формулу
- •Векторная алгебра
- •Уравнения линий на плоскости
- •Плоскости и прямые в пространстве
- •Пример 3. Найти область определения функции
- •Пример 9. Вычислить .
- •Пример 11. Вычислить .
- •Фамилия, имя, отчество; номер студенческого билета; название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта.
Системы координат
Пример. Найти расстояние между точками М1(1, -2, -3) и М2(-3, 1, 1). Определить координаты точки С, делящей отрезок М1М2 в отношении 2:3.
Решение.
1. Используя формулу
М1М2 = ,
получим М1М2 = .
2. Координаты точки С определим по формуле вида
,
где .
Векторная алгебра
Пример 1. Даны точки М1(1, -2, -3), М2(-3, 1, 1). Найти длину вектора .
Решение. Вектор . Следовательно = {-3-1, 1+2, 1+3} ={-4, 3, 4}. Длина вектора находится по формуле a = .
Пример 2. Найти угол φ между векторами и , если М1(1, -2, -3), М2(-3, 1, 1), М3(3, 2, 2).
Решение. Для нахождения cosφ используем формулу
где - скалярное произведение векторов и .
Определим координаты векторов и cosφ:
= (-3-1, 1+2, 1+3) =(-4, 3, 4), = (3-1, 2+2, 2+3) = (2, 4, 5),
,
φ = 87045'54".
Пример 3. Даны координаты вершин пирамиды А1(1, -2, -3), А2(-3, 1, 1), А3(4, 3, -1), А4(3, 2, 2). Найти площадь грани А1 А2 А3 и объем пирамиды.
Решение. Площадь треугольника А1А2А3 найдем, используя геометрический смысл векторного произведения векторов
,
где - векторное произведение векторов.
Вначале находим
,
а затем
ед2.
Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов
,
следовательно, ед3.
Уравнения линий на плоскости
Прямая на плоскости
Прямую на плоскости можно задать многими способами. При решении задач на прямую часто используются следующие типовые уравнения и соотношения:
Уравнения прямой с угловым коэффициентом
,
где k – угловой коэффициент ( , - угол наклона прямой к оси Ox), b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(x0, y0) c данным угловым коэффициентом k
.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2)
.
Заметим, что в случае , уравнение принимает вид . Аналогично, если , уравнение прямой записывается .
Расстояние d от точки М0 до прямой определяется по формуле
.
Угол , отсчитываемый против часовой стрелки от прямой до прямой , определяется по формуле
.
Из формулы следует:
1) прямые l1 и l2 параллельны, если ;
2) прямые l1 и l2 перпендикулярны, если .
6. Уравнения биссектрис углов между прямыми и имеют вид
.
7. Точка пересечения медиан делит любую из них на части в отношении 2:1 (считая от вершины).
Пример. Даны вершины треугольника А(-3,-3), В(2,7) и С(5,1). Требуется написать уравнения сторон треугольника, определить угол А треугольника, найти уравнение медианы АК и высоты АМ.
Рис. 1.
Решение. Чтобы написать уравнение стороны АВ треугольника, используем вид уравнения прямой, проходящей через две точки:
AВ: или у = 2х + 3.
Аналогично
АС: или у = 0,5х -1,5
СВ: или у = -2х +11.
Тогда тангенс угла А определяется по формуле:
, k2=2, k1 = 0,5. Следовательно
Ищем уравнение медианы АК. Для этого определяем координаты точки К, учитывая, что отрезок ВС в точке К делится пополам и, следовательно,
АК или
Ищем уравнение высоты АМ, опущенного из вершины А на сторону ВС :
, где .
Следовательно, уравнение АМ: или у - 0,5х +1,5 =0
Линии второго порядка
Ниже приведены канонические уравнения кривых второго порядка с центром симметрии (в случае параболы – вершиной) в начале координат (случай А) и в точке С(x0, y0) (случай В).
А В
Окружность |
|
|
Эллипс |
|
|
Гипербола |
|
|
Парабола |
|
|
Пример 1. Пусть задано уравнение х2 + y2 - 4x = 0. Является ли это уравнение уравнением окружности и, если да, то каков ее радиус и координаты центра?
Приведем данное уравнение к виду . Выделим полный квадрат относительно х, прибавляя и вычитая число 4
x2 + y2 - 4x = (x2 - 4x + 4) + y2 - 4 = 0 или (x - 2)2 + y2 = 22. х0 = 2, у0 = 0, R = 2.
Пример 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Определить тип кривой, найти ее параметры и сделать чертеж.
Решение. Сравнивая с табличными данными находим, что это парабола, вершига которой находится в точке С(x0, y0) . приводим уравнение параболы к виду .
х0 = 0, у0 = 2, р = 1. Чертеж
Рис. 2.