10

Лекция 1. Контактные явления

1. Краткие сведения необходимые для изучения курса “Твердотельная электроника”

Атомные явления не могут быть описаны ни как движение частиц, ни как чисто волновые процессы. Микрочастицы – электроны, протоны, атомы и т.д. органически сочетают в себе корпускулярные и волновые свойства. Они регистрируются всегда как частицы, а их движение описывается волновым уравнением Шредингера. Решение уравнения Шредингера позволяет найти не зависящие от времени стационарные состояния микрочастиц. Строгое решение получено лишь для некоторых простых систем. Решение уравнения Шредингера для электрона в кулоновском поле атома водорода дает бесконечное множество возможных стационарных состояний. Их энергия, отсчитанная от энергии свободного, не связанного с ядром электрона, определяется формулой

,

где – постоянная Ридберга, h=6,63·10^-34 Дж·с – постоянная Планка, ε₀=8.85∙10⁻¹² Кл²/Н∙м² – электрическая постоянная, e=1,6∙10⁻¹⁹ Кл − элементарный заряд, m_е=9.1∙10⁻³¹ кг – масса покоя электрона, n=1, 2, 3 …− главное квантовое число.

В многоэлектронных атомах каждый электрон взаимодействует не только с ядром, но и с другими электронами. В этом случае энергия электрона в атоме определяется: главным квантовым числом n, орбитальным квантовым числом l и квантовым числом j полного момента импульса электрона, получающегося в результате векторного сложения орбитального и спинового моментов. Одну и ту же энергию в атоме могут иметь два и более электронов. Таким образом, несколько энергетических уровней с различными квантовыми числами могут совпадать, такие уровни называют вырожденными. На рис.1 приведена схема энергетических уровней одиннадцатиэлектронного атома натрия.

При образовании кристалла из дискретных атомов происходит формирование его кристаллической решетки. Этот процесс связан со сближением отдельных атомов и качественно иллюстрируется на рис.2. Справа по оси х изображены дискретные уровни энергии электронов W₁, W₂, W₃ изолированных атомов, а слева, начиная с расстояния примерно равного постоянной решетки а, дискретные уровни размываются в энергетические зоны.

Образование зон связано с сильным взаимодействием электронных оболочек атомов. При этом два электрона, ранее находившиеся на одинаковых уровнях в изолированных атомах, после взаимодействия приобретают разные энергии. На рис.3 качественно показано расположение энергетических зон электронов в твердом теле (на примере металла с электронным типом проводимости).

При расчете электропроводности твердых тел рассматриваются только две зоны, одна из которых последняя полностью заполненная электронами называется валентной зоной, а следующая зона, в которой имеются свободные энергетические уровни, называется зоной проводимости. Взаимное расположение энергетических зон схематически показано на рис.4. Если зона проводимости заполнена электронами только частично (рис.4, а), а верхняя половина свободна, то электроны под действием электрического поля могут беспрепятственно в ней перемещаться. Такие тела обладают электронной проводимостью, характерной для металлов.

Если зоны частично перекрываются (рис.4, б), то в полосе разрешенных значений энергии появляются свободные уровни. В случае перекрытия зон тело может обладать электронной, дырочной или смешанной проводимостью, в зависимости оттого, по какому участку зон осуществляется проводимость. Если по верху валентной зоны – то дырочная, если по дну зоны проводимости – то электронная, если по обеим зонам – то смешанная. К электронным металлам относятся медь, серебро, золото и др., к дырочным – молибден, вольфрам т др., к смешанным – свинец, алюминий и др.

В полупроводниках и диэлектриках валентная зона и зона проводимости разделены запрещенной зоной ∆W рис.4, в и г. Их разделение является условным. Принято считать, что материалы с W≤2 эВ относятся к полупроводникам, а с W>2 эВ к диэлектрикам.

Электроны в твердом теле движутся в строго периодическом потенциальном поле атомов, расположенных в узлах кристаллической решетки. В результате электрон находится под воздействием двух сил – периодической силы кулоновского притяжения к ядрам и силы, обусловленной внешним электрическим полем. При таких условиях движение электрона в квантовой механике описывается с помощью волнового уравнения Шредингера. Его решение для одномерного кристалла имеет вид волновой функции ψ=U(x)expjkx, где U(x) – периодическая функция с периодом решетки а, k=2π/λ – квазиволновой вектор. Волновая функция электрона представляет модулированную плоскую волну. Длина волны λ связана с квазиимпульсом электрона p сношением де Бройля: ħk=p=h/λ где h=6.63∙10⁻³⁴ Дж∙с − постоянная Планка (ħ=h/2π). В кристалле квазиимпульс электрона и его энергия могут принимать только дискретные значения p=±hn/L_x и , где n=1, 2, 3 …− целое число, а − длина одномерного кристалла, состоящего из цепочки N_x атомов. Квазиимпульс электрона в кристалле может принимать фиксированные значения в интервале ±h/2а, который определяет первую зону Бриллюена.

Так как квазиимпульс электрона в кристалле может принимать только дискретные значения, то и энергия электронов также квантуется. На рис.5 приведены дисперсионные кривые: зависимости энергии W=f(p) от импульса р, скорости v=f(p) и эффективной массы m=f(p) для свободного электрона в вакууме и для электронов в твердом теле.

У дна первой зоны Бриллюена (рис.5, б) зависимость энергии от квазиимпульса подчиняется параболическому закону W~р² и плотность квантовых (энергетических) состояний , где m^* – эффективная масса электрона. В общем случае эффективная масса не совпадает с массой покоя электрона m₀. У дна зоны, как правило, m^*< m₀ это “легкие” электроны. Вблизи верха зоны эффективная масса электрона становится отрицательной. В связи с этим введено понятие дырки, обладающей положительным зарядом, равным по модулю заряду электрона. Эффективная масса дырок положительна и, как правило, больше массы покоя электрона m^*> m₀. Таким образом, электропроводность в твердых телах осуществляется носителями двух типов: электронная проводимость происходит за счет перемещения электронов у дна зоны, а дырочная – за счет перемещения электронов у верха зоны.

Распределение электронов по энергиям описывается функцией распределения Ферми

,

где W – энергия электрона, а W_F – энергия уровня Ферми. Функция распределения F(W) дает вероятность нахождения электрона на данном энергетическом уровне. Вероятность нахождения электрона на уровне Ферми F(W_F)=1/2. Функции распределения Ферми для металла при температуре T=0 К и T>0 К, приведены на рис.6, а. При T=0 К уровень Ферми W_F0 соответствует наибольшей энергии которую могут иметь электроны. С повышением температуры уровень Ферми слабо возрастает. Принято полагать W_F≈ W_F0 вплоть до температуры плавления металла. В металлах уровень Ферми всегда располагается в зоне проводимости.

В полупроводниках при T>0 К протекают два конкурирующих процесса: процесс рождения пар электрон-дырка, связанный с тепловой генерацией, и процесс их рекомбинации. В результате при данной температуре имеется равновесное количество электронов и дырок, которые “живут” конечное время τ. Функция распределения F(W) для собственных полупроводников при T>0 К и равенстве эффективных масс электронов и дырок приведена на рис.6, б. В этом случае уровень Ферми располагается в середине запрещенной зоны. При неравенстве эффективных масс уровень Ферми смещается в сторону зоны с меньшей эффективной массой электронов или дырок.