4.3 Основное энергетическое уравнение турбины.

4.3.1 Основное уравнение турбин.

Для определения силовых и энергетических показателей потока в рабочем колесе применим закон момента количества движения в форме, которую уже использовали для определения условия свободного движения жидкости – закона постоянства момента скорости.

d(mv_ur)_o /dt = ∑M_o

Рассмотрим нормальное сечение рабочего колеса РО турбины (рисунок 4.10), и выделим кон­трольными поверхностями 1 и 2 область, включающую лопасти рабо­чего колеса.

Для установившегося осредненного потока внутри выделенной области (межлопастное пространство РК), момент скорости v_ur не изменяется во времени и, следовательно, d(v_ur) равно разности:

v_1Ur₁ - v_2Ur₂

на контрольных поверхностях 1 и 2.

Рисунок 4.10. Скорости на входной и выходной

кромках лопастей рабочего колеса

Протекающая через рабочее колесо за время d_t масса жидкости

m = ρQdt,

В этих условиях закон момента количества движения представляется формулой:

ρQ(v_1Ur₁ - v_2Ur₂) = ∑M_o

Сумма моментов внешних сил относительно оси вращения ∑M_О, действующих на выделенный объем жидкости, определяется следующим образом:

• Момент от сил давления на поверхности вращения 1 и 2 и поверхности ободов равен нулю.

• Силы веса также не дают момента, так как центр их приложения совпадает с осью.

• Остаются силы трения по ограничивающим поверхностям этого объема и силы давления и трения жидкости на лопастях.

В последнем случае обе группы сил дают момент относительно оси, но первую из-за малости можно не учитывать, и тогда остается момент, воздействующий на жидкость со стороны лопастей рабочего колеса М. Искомый же момент рабочего колеса, создаваемый жидкостью на лопастях, будет равен - М.

В итоге по формуле для момента количества движения, при этом раскрывая значе­ния v_1U и v_2U, получаем:

М = ρQ (0,5D_1Р v₁ cos ά₁ — 0,5D_2Р v₂ cos ά₂)

Далее используя выражения средней циркуляции:

Г₁ = πD_1Р v₁ cos ά₁

Г₂ = πD_2Р v₂ cos ά₂

можно выразить момент рабочего ко­леса через разность средних циркуля­ции на входе и выходе:

М = ρQ/2π • (Г₁ - Г₂)

Последняя формула особенно наглядна. Она показывает, что на рабочем колесе создается крутящий момент только в том случае, когда оно воздействием своих лопастей изменяет циркуляцию потока.

Знак Г принимается положительным, если v_u совпадает с направлением окружной скорости u. Зная момент и задавая угловую скорость рабочего колеса, можно определить развиваемую им мощность:

Npк = Mω

Здесь: М – в Н•м, ω – в 1/с, Npк – в Вт. В то же время из­вестно, что мощность турбины выражается формулой Npк = ρgQHη. Это позволяет составить равенство:

Mω = ρgQHη_Г,

где: Н — напор турбины; η_Г — гидравлический КПД.

Далее, подставляя в эту формулу М и учитывая, что ω0,5D_1Р = u₁, и ω0,5D_2Р = u₂ — окружные скорости, получаем:

Hη_Г = 1/g •( u₁ v₁ cos ά₁ – u₂ v₂ cos ά₂),

или с учетом циркуляции:

Hη_Г = ω/g2π • (Г₁ - Г₂)

Данные формулы представляют собой основное урав­нение турбин, или уравнение Л. Эйлера. Левая часть Hη_Г — энергия в Дж, полученная рабочим колесом от жидкости весом в 1 Н, прошедшей через лопастную систему рабочего колеса. Правая часть содержит кинематические параметры потока при входе на рабочее колесо и после выхода из него.

Таким образом, основное уравнение дает связь между энергетиче­скими и кинематическими параметрами в турбине.

Из последнего уравнения Эйлера можно сделать важные выводы:

1.Выше отмечалось, что наиболее благоприятный по КПД режим работы близок к условиям нормального выхода, когда циркуляция Г2 = 0 или мала. При этом, Г₁ = Г_О – циркуляции, создаваемые направляющим аппаратом. Отсюда можно опре­делить требуемое значение Г_О в зависимости от Н и ω.

2. В процессе прохождения воды через рабочее колесо турбины циркуляция потока должна убывать. Следовательно, рабочее колесо «срабатывает» циркуляцию, созданную направляющим аппаратом.