Ответы по линейной алгебре.

1. Предварительные Определения.

2-3. Вектор. Определение 1(о направленном отрезке).

Вектор – это направленный отрезок.

4. Определение 2 (о равенстве векторов).

Два вектора называются равными, если они:

1) Коллинеарны;

2) Одинаково направлены;

3) Имеют равную длину.

5. О другом определении вектора Определение 3.

Вектор – упорядоченная пара точек.

6. Линейные операции над векторами.

Линейные операции над векторами – сложение векторов и умножение векторов на число.

7. Определение суммы векторов.

Построим равные вектора, конец вектора перенесем в начало вектора , вектор будет называться суммой вектора и вектора . (вектор является гипотенузой, А->B->C)

Сложением двух векторов называют операцию, сопоставляющую двум векторам их сумму.

8. Умножение вектора на число.

Умножение вектора на число есть сопоставляющая вектору и числу произведению вектора на это число.

9. Определение произведения вектора на число.

Определение произведения вектора на число (вещественное ) называется любой вектор удовлетворяющий следующим условиям, где вектор и и вещественное число α:

1.

2.вектор

3. направлены одинаково, при α ; противоположно, если α

4.α=0, то и =

10. Предложение 1 о свойствах линейных операций над векторами.

Сложение векторов:

1. коммутативно ,

2. ассоциативно, ,

3. нулевой вектор .

4.

Умножение вектора:

1.

( )*

2. на число дистрибутивно (распределять) по отношению к сложению чисел: (α+β) * .

3. α( )= α* +α* дистрибутивно по отношению к векторам .

4. 1* = не меняет этого вектора.

12. Определение разности векторов.

Разностью векторов называется сумма векторов

То есть вычитание есть операция обратная сложению. Эта операция сопоставляет двум векторам их разность (вектор А и В движутся из одной точки в разных направлениях, гипотенуза этого треугольника и есть их разность.)

13. Линейные комбинации векторов.

Применяя линейные операции мы можем составлять суммы векторов умноженных на число:

Сумма векторов умноженных на число называется линейные комбинация этих векторов.

( - коэффициенты линейной комбинации векторов

Пользуясь свойствами линейной комбинации можно производить над векторами разные преобразования.

Свойства линейной комбинации:

1. Если все { - коллинеарны, то и их линейный комбинации коллинеарны.

2. Если стационарны, то линейные комбинации стационарны.

14. Определение базиса.

1. Базис в пространстве ,называются три некомпланарные вектора

2. На плоскости два неколлинеарных вектора

3. На прямой один не нулевой вектор

Если вектор представлен как линейная комбинация, то говорят что он разложен по этим векторам. Обычно рассматривается разложение вектора по базисам.

15. Определение компонент векторов.

Если есть базис в пространстве и вектор представлен как: (линейная комбинация )

Тогда числа { } называются компоненты (координаты) вектора в данном базисе.