Аналитическая геометрия

  ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке Тема: Квадратичные формы Матрица квадратичной формы имеет вид …

Решение: Матрица квадратичной формы симметрична относительно главной диагонали. Слагаемые из формы можно представить в виде . Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что , поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по . Соответственно коэффициенты формы при квадратах неизвестных, т.е.   , записываются на главной диагонали. Для данной формы элементы матрицы   Следовательно, заданная квадратичная форма описывается матрицей

  ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке Тема: Прямая на плоскости Расстояние от точки  до прямой  равно …

			6
			30
			12

Решение: Расстояние от точки  до прямой  найдем по формуле .

  ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке Тема: Поверхности второго порядка Даны уравнения поверхностей второго порядка: А) B) C) D) Тогда однополостный гиперболоид задается уравнением …

			D
			A
			C
			B

Решение: Так как каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид , то искомое уравнение может иметь вид: .

  ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке Тема: Прямая и плоскость в пространстве Даны точки  и . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору , имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору , имеет вид . В качестве вектора  возьмем вектор . Тогда уравнение плоскости примет вид  или .

  ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Точка  симметрична точке  относительно точки . Тогда координаты точки  равны …

Решение: Точка  является серединой отрезка . То есть должны выполняться условия ,  или , . Тогда координаты точки  равны .

  ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке Тема: Полярные координаты на плоскости В полярной системе координат заданы две точки  и  Тогда расстояние между ними равно …

			9
			5

Решение: Точки  и  лежат на одной прямой и отстоят от полюса на расстояния 2 и 7 соответственно. Следовательно, длина образованного ими отрезка

  ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Точка  симметрична точке  относительно точки . Тогда координаты точки  равны …

Решение: Точка  является серединой отрезка . То есть должны выполняться условия ,  или , . Тогда координаты точки  равны .

  ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке Тема: Поверхности второго порядка Уравнение  в пространстве определяет …

			параболоид
			эллипсоид
			однополостный гиперболоид
			цилиндр

Решение: Уравнение вида  в пространстве определяет параболоид.

  ЗАДАНИЕ N 32 сообщить об ошибке Тема: Прямая на плоскости Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением , равен …

Решение: Выразим из уравнения  переменную , а именно . Тогда угловой коэффициент .

  ЗАДАНИЕ N 17 сообщить об ошибке Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Точка  симметрична точке  относительно точки . Тогда координаты точки  равны …

Решение: Точка  является серединой отрезка . То есть должны выполняться условия ,  или , . Тогда координаты точки  равны .

  ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке Тема: Прямая на плоскости Прямая проходит через точки  и . Тогда общее уравнение этой прямой имеет вид …

Решение: Уравнение прямой, проходящей через две точки  и  имеет вид . То есть , , или .

  ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке Тема: Прямая и плоскость в пространстве Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку  параллельно вектору  имеют вид …

Решение: Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку  с направляющим вектором , имеют вид Тогда  или

  ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке Тема: Поверхности второго порядка Координаты центра эллипсоида  равны …

Решение: Координаты центра эллипсоида  равны  То есть это точка