- •Оглавление
- •Введение
- •Матричная алгебра
- •Матрицы
- •Действия над матрицами
- •Определители
- •Свойства определителей
- •Обратная матрица
- •Системы линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений
- •Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Задание для контрольной работы
- •Правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Библиографический список
Обратная матрица
Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если .
Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Такие матрицы называются невырожденными. Невырожденная матрица имеет единственную обратную
,
где – алгебраическое дополнение элемента матрицы .
Пример 8. Найти матрицу, обратную к матрице .
Решение. Вычислим определитель матрицы :
. Значит матрица невырожденная и имеет обратную. Находим
.
Для проверки правильности вычислений полезно убедиться, что для найденной матрицы верно равенство .
Системы линейных уравнений
Решение систем линейных уравнений
Система линейных уравнений имеет вид
где – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены. Матрицы
называют соответственно матрицей и расширенной матрицей системы.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система имеет либо одно тогда она называется определенной, либо бесконечно много решений тогда – неопределенной. Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.
Рассмотрим метод Гаусса решения системы линейных уравнений на конкретном примере.
Пример 9. Решить систему
Решение. Избавимся от переменной во втором и третьем уравнениях. Для этого сначала домножим первое уравнение на -1 и прибавим ко второму, а потом домножим первое на 2 и прибавим к третьему.
Отсюда
.
Можно сделать те же преобразования с расширенной матрицей системы:
.
Пример 10. Решить систему
Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, запишем расширенную матрицу системы. Затем исключим переменную из второго и третьего уравнения.
.
Отсюда
.
Положив и , получим
.
Пример 11. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: , , . Нормы расхода каждого из них на изготовление одной пары обуви и объем расхода сырья за один день заданы в таблице.
Вид сырья |
Нормы расхода сырья на изготовление одной пары, усл.ед. |
Расход сырья за один день, усл.ед. |
||
сапог |
кроссовок |
ботинок |
||
|
5 2 3 |
3 1 2 |
4 1 2 |
2700 800 1600 |
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.
Решение. Пусть ежедневно фабрика выпускает пар сапог, пар кроссовок и пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему
При решении системы методом Гаусса имеем
.
Отсюда
.
Итак, фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 пар кроссовок и 200 пар ботинок.
Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
Пусть имеется отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.
Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Введем следующие обозначения:
– общий (валовой) объем продукции -ой отрасли;
– объем потребления -ой отраслью продукции -ой отрасли;
– коэффициенты прямых затрат, показывающие затраты продукции -ой отрасли на производство единицы -ой отрасли;
– объем конечного продукта -ой отрасли для непроизводственного потребления.
Так как валовой объем продукции -ой отрасли равен суммарному объему ее продукции, потребляемой всеми отраслями, и конечного продукта, то
. |
(1) |
Уравнения (1) называются соотношениями баланса.
Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого валового объема продукции для каждой из отраслей, который при известных прямых затратах обеспечивает заданный конечный продукт.
В матричной форме система (1) имеет вид
. |
(2) |
Она имеет ряд особенностей: прежде всего все элементы матрицы и компоненты и должны быть неотрицательными.
Матрица , все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (2) – , все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.
Перепишем систему в виде , откуда
. |
(3) |
|
|
Матрица называется матрицей полных затрат. Каждый элемент матрицы есть величина валового выпуска продукции -ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта -ой отрасли.
Существует несколько критериев продуктивности матрицы . Приведем два из них.
Первый критерий продуктивности. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и ее элементы неотрицательны.
Второй критерий продуктивности. Матрица с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы: , причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.
Наряду с валовой и конечной продукциями в межотраслевом балансе рассматривается чистая продукция отрасли – разность между валовой продукцией этой отрасли и продукцией всех отраслей на производство этой отрасли.
Пример 12. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, ден.ед.
Производящие отрасли |
Потребляющие отрасли |
Конечный продукт |
Валовой выпуск |
|
Энергетика |
Машиностроение |
|||
Энергетика Машиностроение |
7 12 |
21 15 |
72 123 |
100 150 |
Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне. Найти чистую прибыль отраслей.
Решение. Имеем =100, =150, =7, =21, =12, =15; =72, =123.
Находим коэффициенты прямых затрат: =0,07, =0,14, =0,12, =0,10, т.е. матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности: .
Поэтому для любого конечного продукта можно найти необходимый объем валового выпуска по формуле (3).
Найдем матрицу полных затрат : . Так как , .
По условию , тогда по формуле (1) получаем валового выпуска
,
т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 ден.ед., а в машиностроительной – до 160,5 ден.ед.
Из =179 ден.ед. валовой продукции энергетики на внутрипроизводственное потребление двух рассматриваемых отраслей (энергетики и машиностроения) уйдет соответственно ден.ед. и ден.ед., так что чистая продукция энергетики составит ден.ед. Аналогично, из =160,5 ден.ед. валовой продукции машиностроения на внутрипроизводственное потребление уйдет соответственно ден.ед. и ден.ед., так что чистая продукция машиностроения составит ден.ед.