3.6 Коректність постановок крайових задач
Оскільки задачі для рівнянь з частинними похідними другого порядку описують різні реальні фізичні процеси, то їх відносять до задач математичної фізики. Математичні постановки таких задач повинні задовольняти наступним природним вимогам.
1. Розв’язок повинен існувати в деякому класі функцій.
2. Розв’язок повинен бути єдиним у деякому класі функцій..
3.
Розв’язок повинен неперервно залежати
від умов задачі (початкових і граничних
умов, вільного члена, коефіцієнтів
рівнянь і т.д.). Неперервна залежність
розв’язку
від умов задачі
означає наступне: нехай послідовність
умов
у деякому розумінні прямує до
,
де u
- відповідні розв’язки задачі; тоді
повинно бути
при
k→∞
в
розумінні збіжності, вибраної належним
чином. Вимога неперервної залежності
розв’язку зумовлена тими обставинами,
що дані фізичні задачі, як правило узято
із експерименту й тому необхідно бути
впевненому в тому, що розв’язки задачі
не будуть суттєво залежати від похибок
вимірів.
Задача, яка задовольняє вимогам 1, 2, 3, називається коректно поставленою, а відповідна множина функцій – класом коректності за Адамаром.
Контрольні питання
Який вигляд має лінійне однорідне рівняння другого порядку у частинних похідних?
На які типи поділяються рівняння другого порядку у частинних похідних?
Який вигляд має характеристичне рівняння для лінійного однорідного рівняння другого порядку у частинних похідних?
Які задачі математичної фізики ви знаєте?
5. У чому полягає коректність постановки крайової задачі для рівняння математичної фізики?
6. Як привести диференціальне рівняння другого порядку до канонічної форми?
7. Який фізичний та геометричний зміст характеристик рівняння другого порядку у частинних похідних?
8. Як вводяться нові змінні для зведення рівняння у частинних похідних другого порядку до канонічної форми?
9. Які умови накладаються на функції перетворення координат для зведення рівняння до канонічної форми?
10. Як звести до канонічної форми рівняння зі сталими коефіцієнтами?
11. Які існують типи крайових задач для диференціальних рівнянь другого порядку у частинних похідних?
12. Звести рівняння до канонічного вигляду
12.1
,
12.2
12.3
,
12.4
12.5
,
2.6
12.7
,
12.8
