- •1.1. Определители (детерминанты)
- •1.2. Матрицы
- •1.3. Системы линейных уравнений
- •3.1. Линейные образы
- •3.1.1. Прямая на плоскости
- •3.1.2. Плоскость в пространстве
- •3.1.3. Прямая в пространстве
- •3.2. Кривые второго порядка
- •3.3. Поверхности второго порядка
- •3.4. Преобразование координат
- •3.4.1. Преобразование координат на плоскости
- •3.4.2. Преобразование координат в пространстве
- •5.2. Основные элементарные функции
- •5.3. Теория пределов
- •5.4. Непрерывность функции
- •6.1. Определение производной
- •6.2. Основные правила дифференцирования
- •6.3. Производные основных элементарных функций
- •6.4. Гиперболические функции
- •6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора
- •6.6. Исследование функций
- •7.1. Неопределенный интеграл
- •7.1.1. Определения и свойства
- •7.1.2. Основные методы интегрирования
- •7.1.3. Таблица интегралов
- •7.2. Определенный интеграл
- •7.2.1. Определения и свойства
- •7.2.2. Приложения определенного интеграла
3.4.2. Преобразование координат в пространстве
Переход от декартовых координат к цилиндрическим координатам и обратно:
; ; ; |
|
Переход от декартовых координат к сферическим координатам и обратно:
, , ; |
|
Тема 4. Комплексные числа |
|
Мнимая единица .
4.1. Алгебраическая форма комплексного числа
, где a, b – действительные числа;
a - действительная часть комплексного числа,
b - мнимая часть комплексного числа;
Обозначения действительной и мнимой части: .
Модуль комплексного числа: .
Сопряжённые комплексные числа: и .
4.2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
;
;
.
4.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
,
где - аргумент комплексного числа, .
4.4. Показательная форма комплексного числа
.
Формула Эйлера: .
4.5. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме
,
,
,
где .
Формула Муавра: .
Тема 5. Введение в анализ |
|
5.1. Функции. Общие свойства
Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.
Аналитическое представление функции:
в явном виде: ;
в неявном виде: ;
в параметрической форме: ;
разными формулами в области определения (a,c]: .
Четная функция: .
Нечетная функция: .
Периодическая функция: , где T – период функции, .
5.2. Основные элементарные функции
|
Название |
Формула |
Частные случаи |
1 |
Постоянная |
|
|
2 |
Степенная функция |
|
; ; ; ; |
3 |
Показательная функция |
|
|
4 |
Логарифмическая функция |
|
; |
5 |
Тригонометрические функции |
; ; ; . |
|
6 |
Обратные тригонометрические функции |
; ; ;
|
|
Графики основных элементарных функций:
Парабола
|
Гипербола
|
График показательной функции
|
График логарифмической фунгкции
|
Синусоида и косинусоида
|
|
|
5.3. Теория пределов
Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента , начиная с которого выполняется неравенство .
Обозначение: .
Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число d , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .
Обозначение: .
Формула для вычисления предела элементарной функции в точке , где : .
Бесконечно малая величина при есть функция такая, что .
Бесконечно большая величина при есть функция такая, что .
Первый замечательный предел: .
Следствия: ; ;
Второй замечательный предел: , где e=2,71828…
Следствия: ; ; ; .
Эквивалентные бесконечно малые величины при :
x sinx tgx arcsinx arctgx ex-1 ln(1+x).
Виды неопределенностей:
Символическое обозначение |
Содержание неопределенности |
Пределы компонент при x a |
|
|
1(x) 0 2(x) 0 |
|
|
1(x) 2(x) |
|
|
(x) 0 (x) |
|
|
1(x) 2(x) |
|
|
(x) (x) |
|
|
1(x) 0 2(x) 0 |
|
|
(x) 0 (x) |