Оценка параметров множественной регрессии с использованием метода обратной матрицы

Условие. Имеются данные по 12 регионам одного из федеральных округов России о валовом региональном продукте (ВРП), инвестициях в основной капитал в расчете на душу населения и уровне экономической активности населения, представленные в виде электронной таблицы в MS EXCEL (рис. 1).

1. Исходные данные

Требуется, используя средства MS EXCEL:

1. представить исходные данные в матричной форме и найти оценки параметров уравнения множественной регрессии с использованием метода обратной матрицы;

2. рассчитать и оценить показатели тесноты связи между признаками;

3. дать оценку значимости уравнения в целом и его параметрам, провести интерпретацию коэффициентов чистой регрессии;

4. проверить правильность проведенных расчетов, построив множественную модель с использованием встроенного инструмента «Регрессия»;

5. рассчитать и оценить прогнозное значение валового внутреннего продукта для округа.

.

Методические указания.

1. Постановка проблемы. Уровень ВРП в расчете на душу населения является основным показателем эффективности экономики региона, уровня жизни населения. Аналогом данного показателя на уровне страны является валовой внутренний продукт (ВВП), увеличение которого является общенациональной задачей.

2. Информационной базой являются данные по 12 регионам РФ из 89. Исследуемая совокупность регионов является выборкой. Число наблюдений в расчете на фактор удовлетворяет минимальным требованиям (напомним, что, по мнению разных ученых, на каждый фактор, включенный в модель должно приходиться от 6-7 до 10 наблюдений как минимум).

3. Спецификация модели (отбор факторов и установление формы связи между ними).

Известно, что уровень ВРП на душу населения – основной показатель уровня жизни, зависит от множества факторов. По имеющимся эмпирическим данным построим множественную модель связи уровня ВРП (у) с инвестициями в основной капитал (х₁) в расчете на душу населения и уровнем экономической активности (х₂). Предположим, что связь линейная:

.

4.1. Представим исходные данные в матричной форме и дадим оценку параметров уравнения регрессии.

Метод обратной матрицы в приложении к множественному регрессионному анализу позволяет найти вектор оценок коэффициентов чистой регрессии следующим образом:

.

Умножение на транспонированную матрицу производится для того, чтобы получить квадратную матрицу и матрицу размера (р+1)×1 (р равно числу факторов, р+1 – число параметров уравнения, включая свободный член), одинаковую по размерам с матрицей В (метод применим только в этом случае).

Представим исходные данные в матричной форме:

Единичный столбец в матрице Х – это фиктивная переменная, все значения которой равны единице. Он необходим для оценки значения свободного члена.

Последовательно найдем транспонированную матрицу , произведение матриц и , обратную матрицу и вектор В как произведение матриц и . Для умножения, нахождения обратной матрицы будем использовать встроенные математические функции: «МУМНОЖ(массив1 (первая матрица); массив 2 (вторая матрица))» и «МОБР(массив (матрица))». Вводятся они как формулы массива, т.е. сначала выделяется выходной диапазон, затем вводится формула, делаются соответствующие ссылки на исходные диапазоны, а для завершения нажимается комбинация клавиш – Ctrl+Shift+Enter.

Напомним, что обратную можно найти только к квадратной матрице, т.е. при нахождении обратной матрицы выходной диапазон будет такого размера, что и исходная матрица. При умножении матриц нужно помнить, что число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы, т.е. можно умножить только матрицу размером m×k на матрицу размером k×n, при этом будет получена матрица – m×n.

Транспонирование в EXCEL можно произвести путем копирования исходной матрицы, а затем с помощью пункта «Специальная вставка» контекстного меню. При этом, если исходная матрица получена расчетным путем с использованием ссылок на ячейки, то необходимо установить маркер на «Значения»:

А также можно использовать встроенную формулу массива «Трансп(массив)».

Итак, в ходе решения задачи были получены матрицы:

Выборочная модель множественной линейной регрессии может быть записана в виде:

.