15. Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Существует пять видов правильных многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Сведения об этих многогранниках сведены в следующей таблице.

Название	Вид грани	Количество граней	Количество ребер, сходящихся в вершине	Рисунок
правильный тетраэдр	треугольник	4	3
куб	квадрат	6	3
октаэдр	треугольник	8	4
додекаэдр	пятиугольник	12	3
икосаэдр	треугольник	20	5

Задачи

1. Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра – вершинами куба.

2. Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.

3. Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.

4. Найдите двугранные углы правильного октаэдра.

16. Сечение многогранников

16.1. Виды сечений многогранников

Различают несколько видов сечений.

Сечением тела плоскостью, параллельной плоскости основания является фигура равная (для призмы) или подобная (для пирамиды) фигуре, лежащей в основании тела.

Сечением плоскостями, параллельными граням являются либо параллелограммы (для призмы и параллелепипеда), либо прямоугольники (для прямой призмы и параллелепипеда).

Сечением плоскостями, проходящими через вершину пирамиды, являются треугольники.

Диагональными называются сечения призмы или пирамиды, проходящие через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Для призмы диагональными сечениями будут параллелограммы, для прямой призмы – прямоугольники, для пирамиды – треугольники.

16.2. Построение сечения плоскостью, проходящей через заданные прямую и точку

Особое место занимают задачи построения сечения призмы и пирамиды плоскостями, проходящими через заданную точку на теле и заданную прямую в плоскости основания. Такая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания. Для построения сечения достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы или пирамиды.

Если известна какая-либо точка на поверхности призмы или пирамиды, принадлежащая сечению, то сечение строиться по следующим правилам:

1. Если данная точка принадлежит другому основанию призмы, то его пересечение с секущей плоскостью представляет собой отрезок, параллельный следу и содержащий данную точку;

2. Если данная точка принадлежит боковой грани призмы или пирамиды, то ее пересечение с секущей плоскостью строится так: сначала строиться точка пересечения следа и плоскости грани, затем строится отрезок на рассматриваемой грани, который является пересечением секущей плоскости и плоскости грани и содержит данную точку. Если грань, содержащая точку , параллельна следу, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному следу и проходящему через точку .

Рассмотрим пример построения сечения призмы плоскостью со следом a, проходящей через точку .

1. Проведем прямые через все ребра основания до пересечения с прямой . Обозначим точки пересечение , , , .

2. Через точки и проведем прямую. Точки ее пересечения с ребрами призмы обозначим за и .

3. Далее проведем прямую через точки и . Точку пересечения этой прямой с ребром обозначим .

4. Проведем прямую через точки и . Точку пересечения этой прямой с ребром обозначим .

5. Проведем прямую через точки и . Точку пересечения этой прямой с ребром обозначим .

6. Получаем сечение призмы заданной плоскостью.

Задачи

1. Построить сечения призмы плоскостью со следом a, проходящей через точку A.

2. Построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки на боковых ребрах призмы.

3. Построить сечения пирамиды плоскостью со следом a, проходящей через точку A.

4. В правильной четырехугольной призме площадь боковой грани равна . Найти площадь диагонального сечения.

5. В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани – квадраты со стороной , провести сечение через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Найти площадь полученного сечения.

6. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найти боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен , а боковые ребра равны .

7. В правильной треугольной пирамиде с высотой через сторону основания проведена плоскость, пересекающая противолежащее ребро под прямым углом. Найти площадь сечения.

8. По стороне основания найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.

9. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде сторона нижнего основания 8, верхнего – 5, высота равна 3. Провести сечение через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Найти площадь этого сечения и двугранный угол между сечением и нижним основанием.