Ответы, указания, решения
VIII класс
Доказательство: Пусть НОД(А, В)=d, А=аd, В=bd. Тогда НОД(a, b)=1, а НОК(a, b)=аbd. По условию задачи аbd=8d, т.е. аb=8. Поскольку а и b взаимно простые, то одно из чисел а или b равно 1, а другое – 8. В первом случае А=d, В=8d, т.е. В=8А, во втором – А=8d, В=d, А=8В.
Ответ: Выгода одинаковая.
Указание. Для решения задачи достаточно преобразовать и сравнить произведения:
20052005200520062006=2005(1000100010001)2006(100010001) (руб.),
20062006200620052005=2006(1000100010001)2005(100010001) (руб.).
Решение. Пронумеруем каждый из арбузов: №1, №2, №3, №4, №5, №6, №7, №8, №9 и №10. Тогда взвешивания можно проводить в таком порядке:
1) №1 + №2 + №3, 2) №4 + №5 + №6, 3) №7 + №8 + №9,
4) №1 + №2 + №10, 5) №1 + №3 + №10, 6) №2+№3 + №10.
Складывая результаты трех последних измерений, получаем сумму удвоенной общей массы арбузов №1, №2, №3 и утроенной массы арбуза №10. Из полученной суммы вычтем удвоенную общую массу арбузов №1, №2, №3 и получим массу арбуза №10. Теперь остается сложить общую массу арбуза №10 с результатами первых трех взвешиваний.
Ответ: 30°.
Решение. Поскольку каждому пронумерованному углу соответствует равный ему непронумерованный вертикальный угол, то сумма пронумерованных углов равна 180°, т.е. 1+2+3+4+5=180°; тогда 35=180°–50°–220°=90°, откуда 5=30°.
Ответ: 197 конфет.
Решение. Число конфет без рома не больше 99, и число конфет без орехов не больше 99. Если сложить число конфет без рома и число конфет без орехов, то полученная сумма будет больше общего числа конфет в ящике. Поэтому в ящике меньше 198 конфет. Если же в ящике у Карлсона 98 конфет с ромом, 98 – с орехами и одна – с мармеладом, то среди любых ста конфет обязательно окажется и конфета с ромом, и конфета с орехами.
Ответы, указания, решения
8 (Iх) класс
Доказательство: Пусть Коля записал на доске числа х1, х2, …, хп, тогда Саша должна была записать числа
,
Лена – составить сумму
,
т.е.
.
В последнем выражении каждое слагаемое – четное число. Поскольку сумма четных чисел число четное, то S не может равняться 2005. Значит, кто–то из девочек ошибся.
Решение. Пронумеруем каждый из арбузов: №1, №2, №3, №4, №5, №6, №7, №8, №9, №10 и №11. Тогда взвешивания можно проводить в таком порядке:
1) №1 + №2 + №3, 2) №4 + №5 + №6, 3) №7 + №8 + №9,
4) №1 + №10 + №11, 5) №2 + №10 + №11, 6) №3+№1 + №11.
Складывая результаты трех последних измерений, получаем сумму общей массы арбузов №1, №2, №3 и утроенной общей массы арбузов №10 и №11. Из полученной суммы вычтем общую массу арбузов №1, №2, №3 и разделим результат на 3 – получили общую массу арбузов №10 и №11. Теперь остается сложить общую массу арбузов №10 и №11 с результатами первых трех взвешиваний.
Ответ:
.
Решение. Число ЭТО кратно 9. Полагая ЭТО=9k, где kN, получаем: РЕШИ=13k, САМ=6k, ЭТО+РЕШИ+САМ=28k. Поскольку все буквы в ребусе различны, то использованы все 10 цифр, а, следовательно,
Э+Т+О+Р+Е+Ш+И+С+А+М=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,
т.е. сумма цифр в сумме ЭТО+РЕШИ+САМ кратна 9 и 28k кратно 9.
Из равенства ЭТО=9k находим k=ЭТО:9, откуда k<112.
Из равенства РЕШИ=13k получаем k=РЕШИ:13, т.е. k>76.
Таким образом, k81, 90, 99, 108. Перебором находим k=81.
|
|
К М О
А В Е |
треугольника,
которые перечекаются в точке О;
причем АМ=ВК,
АМВК.
Поскольку медианы треугольника в
точке пересечения делятся в отношении
2:1, считая от вершины, то АО= |
С
АМ,
ВО=
ВК,
а,
следовательно, АО=ВО.
Значит, треугольник АОВ
– прямоугольный,равнобедренный. Проведем медиану СЕ к стороне АВ. Поскольку все медианы треугольника пересекаются в одной точке, отрезок СЕ проходит через точку О. Тогда ОЕ – медиана, проведенная к основанию АВ равнобедренного треугольника АОВ, и значит, является его высотой. Тогда СЕАВ, т.е. СЕ – медиана и высота треугольника АВС. Таким образом, треугольник АВС равнобедренный.
Ответ: ни одного.
Решение. Воры никогда не обманывают обывателей, поэтому никто из них не мог представиться обывателю как полицейский. Полицейские врут обывателям, и никто из них не мог признаться обывателю, что он полицейский. Значит, в этой группе обывателей не было.