Решение:

Составим векторы валют и их курса:

V=(15; 20; 10; 40) - валютный вектор; К=(10; 30; 15; 20) вектор курса валют.

Найдем сумму денег в рублях, полученную студентами в обменном пункте как скалярное произведение этих векторов:

(V∙K)=15∙10+20∙30+10∙15+40∙20=3800 руб.

55. Уличный фонарь весом Р = 12 кг подвешен в точ­ке В к середине троса АВС, прикрепленного концами к крюкам А и С, находящимся на одной горизонтали. Длина троса АВС = 20 м, а точка В подвеса фонаря отклоняется от горизонтали на ВД = 0,1 м. Не учитывая веса троса, определить натяжение Т = Т (рис. 11).

Решение. В точке В приложены три силы: вес улично­го фонаря и силы натяжения тросов.

Вес фонаря, приложенный в точке В, раскладываем на состав­ляющие по направлению АВ и ВС. Построенный параллелограмм является ромбом, т.к. натяжение частей троса одинаково. Проведя вторую диагональ ромба» получим четыре равных прямоугольных треугольника, гипотенузы которых численно равны силам , а малые катеты силам /2. Определим величины сил методом подо­бия силовых и конструктивных треугольников. Любому из четырех силовых треугольников подобны АPВ и BДС. Из подобия следует

. Отсюда и определяем величину силы натяжения Т = = 600кг.

Ответ. 600кг.

56. Мачтовый кран, состоящий из стрелы АВ = 8,5 м, прикрепленный шарниром А к мачте и цепи ВС = 3 см. К концу стрелы В подвешен груз Р = 200 кг. Расстояние АС = 6 см. Опре­делить натяжение Т цепи и усилие Q, действующее на стрелу. Вес цепи и стрелы не учитывать (рис.12).

Р ешение. В данном случае к концу стрелы приложены три силы: вес груза Р, сила натяжения цепи Т, усилие Q, действующее на стрелу. Силу Р рассматриваем как равнодействую­щую сил. Силовой треугольник со сторонами Р, Q, T подобен треугольнику ABC мачтового крана. Из подобия следует . Отсюда находим Q = = 283 кг

Т = = 100 кг.

При решении задач, где нужно найти равнодействующую трех, четырех, пяти сил, действующих на тело, т.е. решение силовых треугольников, четырехугольников, пятиугольников уже вызывает некоторые трудности. Поэтому следует познакомить слушателей и с аналитическим методом решения задач. Этот метод основывается на понятии проекции силы на ось. Известно, что ортогональная проекция силы на ось, подобна проекции любого вектора на ось, равна произведению модуля силы на косинус угла, образованного положительным направлением оси проекций и направлени­ем проектируемой силы (рис. 13).

Рассматривая силы, расположенные в одной плоскости, имеем:

проекция силы на ось ОХ, F = F cos( ),

проекция силы на ось ОY, F = F cos( ).

Знак проекции на оси, модуль силы будет равен

F = , а cos( ) = F / F , cos( ) = F /F.

Из курса физики слушателям известно, что если на тело действуют силы, лежащие в одной плоскости, и сумма проекций сил на оси равна нулю, то тело находится в равновесии, т.е.

= 0, = 0.

Используя условия равновесия, можно решить задачу анали­тическим методом (методом проекций). Для этого необходимо:

Выделить твердое тело, равновесие которого будем рас­сматривать.

Изобразить заданные силы.

Выбрать в плоскости действия сил систему координат: одну из осей направить перпендикулярно к какой-либо неизвест­ной силе.

Составить уравнения равновесия твердого тела в проек­циях на оси координат.

Решить систему составленных уравнений и определить искомые величины.

Приведем решение нескольких типовых задач методом про­екций.

58. Самолет А летит со скоростью v = 800 км/ч. Под углом = 125 к его курсу летит самолет В со скоростью v = 1100 км/ч. С какой скоростью самолеты удаляются друг от друга?

59. Может ли один человек при помощи каната перетянуть двоих, если прилагаемые усилия у всех троих одинаковы? При каком условии это возможно?

60. Объясните, действие каких сил компенсируются в сле­дующих случаях:

а) подводная лодка покоится в толще воды,

б) подводная лодка лежит на твердом грунте

61. На тело действуют силы 10Н и I2H, направленные вле­во, и сила 14Н, направленная вправо. Проиллюстрируйте соче­тательный закон сложения сил, сложив три силы двумя спосо­бами.

62. Может ли при сложении двух сил, приложенных к твёр­дому телу в точке А и действующих под yглом друг к другу, оказаться, что величина равнодействующей будет меньше вели­чины любой составляющей?

63. Определите магнитный поток, пронизывающий плоскую прямоугольную поверхность, со сторонами 25 и 60 см. если магнитная индукция во всех точках поверхности равна 1,5 Тл, а вектор магнитной индукции образует с нормалью к этой по­верхности угол, равный 0°, 45° и 90°.

64. Магнитный поток внутри контура, площадь поперечно­го сечения которого 60 см; равен 0,3 мВб. Найдите индукцию поля внутри контура. Поле считать однородным.

65. Какую работу совершает равнодействующая всех сил при равномерном разгоне автомобиля массой 5 т из состояния покоя до скорости 36 км/ч на горизонтальном участке пути?

66. Два твердых тела вращаются вокруг неподвижных вза­имно перпендикулярных осек с постоянными скоростями 3 сек и 4 сек. Найдите угловую скорость одного тела относительно другого.

67. Найдите угловые скорости:

а) суточного вращения Земли;

б) часовой стрелки на часах;

в) минутной стрелки на часах.

68. Материальная точка М. имеющая координаты (х; у; z) вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси OL, проходящей через начало координат и образующей с осями координат углы . Определить проекции вектора линейной скорости точки М на оси координат.

6. Каково направление углового ускорения в следующих случаях:

а) тело вращается около вертикальной оси по часовой стрелке с возрастающей угловой скоростью,

в) ось вращения тела поворачивается, но величина угловой скорости остаётся неизменной?

69. Однородный стержень длиной 1 м и массой 0,5 кг вра­щается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускоре­нием вращается стержень, если вращающий момент равен 9.81 10 Н м?

70. Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг м, вращается, делая 20 об/с. Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найдите момент сил трения.

71. На барабан радиуса R=0.5м намотан шнур, к концу ко­торого привязан груз массой m = 10 кг. Определите величину и направление момента силы, приводящей барабан во вращение, если известно, что груз спускается с ускорением 2 м/с .

72. Действует ли сила Лоренца:

а) на незаряженную частицу в магнитном поле

б) на заряженную частицу, покоющуюся в магнитном поле;

в) на заряженную частицу, движущуюся вдоль линии магнитной индукции поля;

г) на заряженную частицу, движущуюся перпендикулярно линиям магнитной индукции поля?

73. Сравните силу Лоренца, действующую на положительно заряженную частицу и отрицательно заряженную частицу, движущихся в магнитном поле под углом к линиям магнитной индукции.

74. Электрон движется в вакууме со скоростью 3 10 м/с в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. Чему равна сила, действующая на электрон, если угол между направленны­ми линиями скорости электрода и линиями магнитной индукции равен 30°, 45°, 60°. 90°.

75. Протон в магнитном поле с индукцией 0,01 Тл описал окружность радиусом 10 см. Найдите скорость протона в плос­кости, перпендикулярной линиям индукции.

76. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией, В=4 10 Тл, перпендикулярной силовым линиям. Найдите период обращения электрона.

77. Чему равен максимальный вращающий момент сил, действующих на прямоугольную рамку, содержащую 100 вит­ков, размером 4x6 см, по которой проходит ток 1 = 10А в магнитном поле с индукцией В=1,2 Тл.

78. Дождевые капли, падающие отвесно попадают на окно вагона, движущегося со скоростью 45 км/ч, и оставляют на нём следы под углом 60° к вертикали. Какова скорость падения кап­ли?

79. На прямоугольном кронштейне висит груз весом 480Н. Горизонтальный стержень кронштейна имеет длину 0,9 м, вер­тикальный - 1,2 м. Найдите силy растяжения горизонтального стержня и силу, которая сжимает вертикальный стержень.

80. При каком положении рук во время подтягивания на пе­рекладине натяжение в них будет наименьшим?

81. Два пешехода А и В равномерно идут по прямолиней­ным отрезкам. Какую линию описывает середина отрезка АВ при движении пешеходов? (рассмотрите два случая).

82. Человек массой 60 кг катается на карусели. Найдите значение силы упругости, действующей на человека при его движении в горизонтальной плоскости со скоростью 10 м/с по окружности радиусом 12 м.

83. Электрон движется в вакууме в однородном магнитном поле с индукцией 5 10 Тл. Его скорость равна 10 м/с и направ­лена перпендикулярно к линиям магнитной индукции. Опреде­лите силу, действующую на электрон и радиус окружности по которой он движется.

84. Велосипедист массой 80 кг движется со скоростью 10 м/с по вогнутому мосту, траектория его движения является дугой окружности радиусом 20 м. Определите силу упругости, дейст­вующую на велосипедиста в нижней точке моста.

85. На барабан радиуса 0.5 м намотан шнур, к концу кото­рого привязан груз массой 10 кг. Определите величину и на­правление момента силы, приводящей барабан во вращение, ес­ли известно, что груз спускается с ускорением 2 м/с.

86. Магнитная индукция магнитного поля равна 0,5 Тл. Оп­ределите поток магнитной индукции через поверхность площа­дью 25 см , расположенную перпендикулярно линиям магнитной индукции. Чему будет равен поток индукции, если поверхность повернуть на 60° от первоначального положения?

87.227. Если к конденсатору приложено переменное на­пряжение u(t) = U sinwt, то протекающий по нему ток имеет форму i(t) = I sin (wt+ /2). Изобразить на пло­скости напряжение и ток, считая их векторами, длина ко­торых в выбранном масштабе равна амплитудному зна­чению, а направление соответствует начальной фазе.

88.228. Если к катушке индуктивности приложено пере­менное напряжение u(t) = U sinwt, то протекающий по ней ток имеет форму i(t) = I sin(wt - /2). Изобразить векторную диаграмму тока и напряжения в катушке индуктивности.

89.229. Полное сопротивление Z двухполюсника явля­ется вектором, который задается активным r и реактив­ным х сопротивлениями. Величина z = называ­ется модулем полного сопротивления, а угол , для ко­торого tg = x/r, называется фазовым углом полного со­противления. Найти модуль и фазовый угол полного со­противления, представляющего собой катушку индуктив­ности L= l мГ, если угловая частота переменного тока w = 314 рад/с.

90.230. По условиям предыдущей задачи найти модуль и фазовый угол полного сопротивления, представляющего собой катушку с индуктивностью 0,5 мГ, активным сопро­тивлением 5 Ом при частоте переменного тока f = 50 Гц. Угловая частота со связана с частотой переменного тока f формулой w=2 f.

91.231. По условиям задачи 229 найти модуль и фазовый угол полного сопротивления, представляющего собой резистор с R = 10 Ом.

92.232. Полное сопротивление последовательного соеди­нения двухполюсников равно сумме их полных сопротив­лений. Найти модуль и фазовый угол полного сопротив­ления последовательного соединения двухполюсников, если для первого двухполюсника z = 4 Ом, = 30°, а для второго z = 3 Ом, = 45°.

93.233. Найти модуль и фазовый сдвиг полного сопротив­ления последовательно соединенных резистора с сопро­тивлением R = 6 Ом и катушки с индуктивностью L = = 3 мГ при угловой частоте w = 157 рад/с (см. задачи 229 и 232).

94.234. Синусоидально изменяющиеся токи, протекающие по проводнику, представлены следующими уравнениями:

i = 2 sin (314t + 20 );

i =2 sin (314t + ).

Найти значение фазы , при котором ток i = i + i в про­воднике будет равен нулю.

95.235. Два генератора переменного тока питают цепь. Сила тока первого генератора изменяется в зависимости от времени по закону i = 5sinwt [А], сила тока второго генератора — по закону i = 3sin (wt + ) [А]. При каких значениях максимальная сила тока в цепи равна: а) 8 A; б) 2 А?

96.236. Цепь питается от трех генераторов переменного тока, силы токов которых меняются в зависимости от вре­мени по законам:

i = 2sinwt

i = 2sin(wt + )

i = 2sin(wt + )

Найти ток в цепи.

97.237. Вектор полной проводимости является обрат­ным к вектору полного сопротивления , т. е. модуль век­тора равен l/z, где z — модуль вектора Z, а фазовый угол вектора полной проводимости равен— , где — фазовый угол вектора полного сопротивления. Опреде­лить вектор полной проводимости двухполюсника, если модуль его полного сопротивления равен 4 Ом, а фазовый угол = 30°.

98.238. Полная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их полных проводимостей. Найти модуль и фазовый угол полной проводимости па­раллельного соединения двухполюсников, если координа­ты вектора, задающего проводимость первого двухполюс­ника — (1,4), а координаты вектора, задающего проводи­мость второго двухполюсника,— (2, 0).

99.239. Найти модуль у и фазовый угол полной про­водимости параллельного соединения двухполюсников, если модуль полного сопротивления первого двухполюс­ника z =2 Ом, а его фазовый угол = 60°, а модуль полного сопротивления второго двухполюсника z = 4 Ом, а его фазовый угол =30° (см. задачи 237 и 238).

100.240. Найти активную и реактивную проводимости па­раллельного соединения двух резисторов с сопротивле­ниями 20 и 10 Ом. Полная проводимость определяется через активную и реактивную проводимости аналогично полному сопротивлению (см. задачу 239).

101.241. Построить вектор полной проводимости парал­лельного соединения резистора с R = 2,476 Ом и катушки с индуктивностью L.= 10 мГ при частоте переменного тока f = 50 Гц. Найти модуль и фазовый угол полной прово­димости этого соединения (см.задачи 237,238 и прил. 17).

102.242. Имеется последовательное соединение резистора сопротивлением R, конденсатора емкостью С и катушки индуктивностью L. Определить частоту переменного тока, при которой координаты вектора полного сопротивления равны (R, 0). (Указание: реактивное сопротивление в це­пи с емкостью С и индуктивностью L определяется по формуле x = wL - , где со = 2лf, f—частота переменного тока).

103.243. Построить вектор полного сопротивления последовательно соединенных резистора с R = 1 Ом, конденсатора с С=10 мкФ и катушки индуктивности L = 20 мГ при частоте переменного тока f ==50 Гц (см. указание к предыдущей задаче). Найти модуль и фазовый угол это­го соединения.

104.244. Два генератора переменного тока имеют следующие э. д. е.: Е =400sin(wt + ), E = 300sin(wt + ). Доказать, что э. д. с. в цепи задается законом: Е = 10 sin (wt + ), где arctg .

105.245. Сумма двух переменных напряжений представ­ляет собой вектор с координатами (100, 120), а вектор разности этих напряжений имеет координаты (20, 20). Найти модуль и фазовый угол каждого из напряжений.

106.246. Трехфазная линия электропередачи состоит из трех одинаковых проводов, расположенных в вершинах правильного треугольника со стороной а. Ток в каждом проводе равен I. Найти напряженность магнитного поля в центре треугольника (см. прил. 15).