- •Семинар №1. Элементы векторного анализа.
- •§ 1.1. Основные теоретические сведения.
- •§ 1.2. Примеры решения типовых задач.
- •§ 1.3. Задачи для самостоятельного решения.
- •Литература
- •Семинар № 2. Уравнения Максвелла. § 2.1. Основные теоретические сведения.
- •§ 2.2. Примеры решения типовых задач.
- •§ 2.3. Задачи для самостоятельного решения.
- •Литература
- •Семинар № 3 Плоские электромагнитные волны. § 3.1. Основные теоретические сведения
- •§ 3.2.Примеры решения типовых задач.
- •§ 3.3. Задачи для самостоятельного решения
- •Литература
§ 1.2. Примеры решения типовых задач.
1.1. В декартовой системе координат проекции векторного поля А постоянны в каждой точке пространства:
, , .
Построить картину силовых линий векторного поля.
Решение. Поскольку одна из декартовых составляющих векторного поля отсутствует, силовые линии должны представлять собой семейство плоских кривых, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости ху. Вектор поля в каждой точке касателен к силовой линии, откуда вытекает дифференциальное уравнение силовых линий
, (1.16)
являющееся следствием подобия двух прямоугольных треугольников с катетами dх, dу и А0, В0соответственно. Общий интеграл уравнения (1.16) имеет вид
,
где С - произвольная постоянная.
Рис.1.1 Рис.1.2
Таким образом, силовые линии поля представляют собой однопараметрическое семейство прямых с угловым коэффициентом наклона к оси х, равным В0 /А0 (рис. 1.1).
1.2. Векторное поле А, удовлетворяющее во всех точках рассматриваемой области условию div А = 0, называется соленоидальным (полем без источников). При выполнении условия rot А = 0 поле А является потенциальным векторным полем. Если такое поле характеризует силу, действующую на материальную точку, то работа внешних сил при обходе замкнутого контура будет равна нулю. В декартовой системе координат векторное поле А имеет единственную составляющую .
Проверить, является ли поле: а) соленоидальным; б) потенциальным.
Решение. Картина силовых линий поля А в плоскости ху изображена на рис. 1.2. Вычисляя дивергенцию этого поля по формуле (1.2), получим, что div А = ∂Аy/∂y = 0. Следовательно, исследуемое поле соленоидально. Однако в соответствии c (1.6) rot А = 30х1z, поэтому поле не является потенциальным.
1.3. Вычислить дивергенцию векторного произведения полей А и В. Решение. Здесь удобно воспользоваться оператором Гамильтона, записав
.
Оператор Гамильтона является дифференциальным оператором, поэтому к приведенному векторному произведению можно применит обычные правила дифференцирования произведения:
.
Нижние индексы у оператора указывают поле, на которое он воздействует. Поле, на которое оператор не воздействует, должно быть вынесено за знак оператора подобно константе. В результате получаем
.
§ 1.3. Задачи для самостоятельного решения.
1.4. Скалярное поле φ задано в декартовой системе координат выражением
Вычислить векторное поле grad φ.
Ответ: .
1.5. В декартовой системе координат векторное поле А имеет единственную составляющую Аz = 3у2. Построить качественно пространственную картину распределения силовых линий поля. Вычислить векторное поле rot А.
Ответ: .
1.6. Пусть поле А предыдущей задачи характеризует векторы скоростей потока жидкости. В любую точку пространства может быть помещена миниатюрная “турбина” с прямыми лопатками (рис. 1.3); ориентация ее оси произвольна.
Рис.1.3.
Почему не будет вращаться “турбина”, помещенная в поток жидкости со скоростями, одинаковыми в каждой точке? Почему угловая скорость вращения равна нулю при и изменяет направление при переходе из области в область ? Установить связь этих результатов с математическим понятием ротора векторного поля как циркуляции по бесконечно малому контуру.
1.7. В сферической системе координат задано векторное поле . Определить скалярное поле div A. Качественно построить картину силовых линий векторного поля.
Ответ: div А = 3.
1.8. В сферической системе координат векторное поле А имеет единственную r-ю составляющую, причем . Какова должна быть функция , чтобы дивергенция поля А обращалась тождественно в нуль? Построить картину силовых линий поля.
Ответ: , где а - константа.
1.9. В декартовой системе координат скалярное поле φ имеет вид
,
где мнимая единица;
- постоянный вектор;
- радиус-вектор.
Найти выражения для grad φ и Δφ.
Ответ: , , где .
1.10. Определить дивергенцию и ротор векторного поля, имеющего в декартовой системе координат единственную составляющую .
Ответ: , .
1.11. Определить дивергенцию и ротор векторного поля А, характеризуемого следующими составляющими в цилиндрической системе координат: , , .
Ответ: , .
1.13. В декартовой системе координат некоторое скалярное поле задано трехмерным интегралом Фурье
Вычислить Δφ.
Ответ: , где .
1.14. Изобразить графически картину силовых линий векторных полей, заданных в декартовой системе координат своими проекциями:
, , .
, , .
1.15. Найти ротор и дивергенцию следующих векторных полей, заданных в декартовой системе координат:
,
.
Ответ: , , , .
1.16. Используя правила действия с оператором Гамильтона, доказать тождество
.
1.17. В пространстве заданы два векторных поля А и В. Найти выражение для поля .
Указание: Выразить операцию grad через оператор и воспользоваться правилом дифференцирования произведения.
Ответ: .
1.18. Доказать следующие тождества векторного анализа (φ и А - произвольные дифференцируемые скалярное и векторное поля):
,
,
,
,
.
1.19. Векторное поле А обладает единственной составляющей Ax, которая постоянна в пределах плоского слоя толщиной 2d:
Найти выражение ротора поля.
Ответ: , где - функция Дирака.