Приповерхностный слой пространственного заряда.

Наличие поверхностных энергетических состояний, поверхностного заряда, приводит к изгибу границ зон разрешенных значений энергии для электронов. Концентрация свободных носителей заряда зависит от координаты в направлении, нормальном к поверхности. Рассмотрение электронных процессов в приповерхностном слое полупроводника проводится при следующих допущениях [2] :

- донорные и акцепторные примеси при Т=300 К полностью ионизированы;

- полупроводник невырожден, концентрация свободных носителей заряда определяется статистикой Максвелла - Больцмана;

- концентрации донорной и акцепторной примесей постоянны и их распределение в полупроводнике по объему однородно;

- в области пространственного заряда (ОПЗ) полупроводника отсутствует

заряд, захваченный ловушка;

- кристалл полупроводника является полубесконечным и находится

в состоянии термодинамического равновесия

В условиях термодинамического равновесия концентрации свобод­ных электронов n₀ и дырок p₀,как известно, даются следую­щими выражениями:

(1)

(2)

где электрический потенциал в полупроводнике;

n₁ -концентрация электронов (или дырок) в собственном полупроводнике; N_c, N_v- эффективные плотности состояний для зоны проводимости

и валентной зоны соответственно; | Е_c- энергия нижней границы зоны проводимости;

Е_v - энергия верхней границы валентной зоны;

Е_i - энергия уровня Ферми для собственного полупроводника, которая почти совпадает с серединой запрещённой зоны:

(3)

На рис.4. представлена энергетическая диаграмма приповерхностной области полупроводника с указанием энергетических уровней, используемых при описании поверхностных свойств.

Энергетическая диаграмма приповерхностной области полупроводника (n-тип)

рис.4.

Электростатический потенциал φ является мерой потенциальной энергии в слое пространственного заряда и характеризует искривление энергетических зон. В объёме полупроводника энергетические зоны плоские, величина электростатического потенциала в этой области называется объёмным потенциалом φ₀. За начало отсчёта φ выбирается уровень Ферми. Электростатический потенциал на поверхности называется поверностным потенциалом φ_s. Тогда концентрацию свободных носителей заряда в объёме полупроводника можно записать в виде:

; (4)

а на поверхности:

(5)

Потенциал в любой точке х полупроводника относительно объёмного потенциала определяется как φ(х)=φ(х)-φ₀, а изгиб энергетических зон на поверхности φ_s=φ_s-φ₀.

Концентрация свободных носителей заряда в любой точки области пространственного заряда могут быть выражены следующим образом:

(6)

Распределение электростатического потенциала в слое пространственного заряда определяется уравнением Пуассона, которое в одномерном случае имеет вид:

(7)

где ε – диэлектрическая проницаемость полупроводника;

ε₀ – диэлектрическая проницаемость вакуума;

ρ(х) – плотность объёмного заряда в точке полупроводника, удалённого на расстояние х от его поверхности.

Граничными условиями задачи являются:

ψ= ψ_s при х=0

ψ=0; при х → ∞

для случая полной ионизации примесей, распределение которых принимается однородным по объёму полупроводника, плотность объёмного заряда в любой точке полупроводника будет выражаться равенством:

(8)

где N_d и N_а – концентрация ионизированных доноров и акцепторов.

Так как условие электронейтральности вне приповерхностного слоя пространственного заряда можно представить в виде:

(9)

где n'₀ и p'₀ – неравновесные объёмные концентрации электронов и дырок, то равенство (8) может быть образовано в виде:

(10)

где

; (11)

соотношение (11) позволяет представить плотность объёмного заряда в виде функции электростатического потенциала, что приводит к следующему виду уравнения Пуассона:

(12)

Для интегрирования уравнения Пуассона вводятся безразмерные величины:

- безразмерный электростатический потенциал

- величина λ, характеризующая объёмные свойстваполупроводника

- величина δ, характеризующая степень отклонения концентрации носителей заряда от их равновесных значений в объёме полупроводника в предположении, что процессы захвата избыточных носителей заряда в объёме полупроводника отсутствуют.

Для собственного полупроводника λ равна единице. Она тем больше единицы, чем резче выражена дырочная проводимость, и тем меньше единицы , чем резче выражена электронная проводимость образца полупроводника.

Используя введённые безразмерные величины можно записать уравнение Пуассона в следующем виде:

(13)

Первый интеграл этого уравнения может быть получен умножением обоих его частей на 2 (dγ/dx). Используя граничное условие dγ/dx=0 при γ=0 получаем:

(14)

а в условиях термодинамического равновесия:

(15)

где

(16)

(17)

(18)

причём знаку минус перед скобкой соответствует положительные, а знаку плюс – отрицательные значения безразмерного электростатического потенциала γ. Величина L_D имеет размерность длины и по

своему физическому смыслу аналогична дебаевской длине экрани­рования в теории электролитов. Выражение (16) определяет длину экранирования поля поверхностного заряда в собственном полупровод­нике, равную, например, для германия при комнатной температуре 1,4 10⁴ см.

Соотношение (14, 15) определяет напряженность электрического поля в любой точке приповерхностной области пространственного за­ряда полупроводника, в том числе и на его поверхности, являющейся границей этой области.

С другой стороны, согласно теоремы Гаусса - Остроградского, заряд в приповерхностном слое пространственного заряда Q_пр.зар. однозначно связан с напряженностью поля на границе слоя. В общем случае эта связь будет выражаться соотношением:

(19)

а в случае термодинамического равновесия:

(20)

где значение безразмерного электростатическо­го потенциала на поверхности полупроводника.

В соответствии с принятым условием, знаки функции F(γ_s; λ; δ) соответствуют знаку заряда в слое пространственного заряда Q_пр.зар. С другой стороны, поверхностный заряд Q_пов. сосре­доточенный в поверхностных состояниях, в отсутствие внешнего элект­рического поля равен по величине, но обратен но знаку заряду в слое пространственного заряда.

Таким образом, соотношения (14) и (16) устанавливают прямую связь между величиной и знаком суммарного заряда в приповерхностной облас­ти полупроводника и величиной и знаком поверхностного электростати­ческого потенциала γ_s, определяющего строение области пространственного заряда.

Приповерхностные избытки носителей заряда и поверхностная

проводимость полупроводника.

В формировании приповерхностного слоя пространственного наряда определяющую роль играют подвижные носители заряда - электроны и дырки. Обозначим через ΔN и ΔP приповерхностные избытки носителей заряда, представляющие собой разности количеств электронов и дырок, приходящихся на единицу площади поверхности полупровод­ника, при данном значении поверхностного электростатического потенциала и его значении, равном нулю (при плоских зонах). Таким образом приповерхностные избытки носителей заряда определяются выражениями:

(21)

(22)

Значения ΔN и ΔP могут быть вычислены в функции поверх­ностного электростатического потенциала следующим образом:

(23)

(24)

Избыточные электроны и дырки могут двигаться вдоль поверхности при приложении электрического поля, обуславливая тем самым изменение проводимости образца. Вызванная ΔN и ΔP избыточная проводимость носит название поверхностной проводимости. Если предположить, что значение подвижности электронов и дырок в области пространственного заряда равно их значению в объеме полупроводника, то для поверхностной проводимости можно записать:

(25)

Поскольку ΔN и ΔP являются функциями уровня легирования и поверхностного электростатического потенциала γ_s, то и G_s является функцией тех же величин. Однако характер этой зависимости не столь уж очевиден, если ΔN и ΔP определяется (21) и (22). Интегралы входящие в (21) и (22), табулированы при различных γ и λ, что облегчает задачу вычисления G_s по (25).

На рис.5. представлена зависимость G_s(γ_s) с λ в качестве параметра, где λ>1, что соответствует полупроводнику n-типа.

Приповерхностная проводимость в функции безразмерного электрического потенциала при различных уровнях легирования полупроводника

Рис.5.

На рис.5. выделены характерные участки этой зависимости.

При γ_s=0 - случай «плоских зон» и поверхностная прово­димость G_s=0.

Для положительных значений γ_s>0 (изгиб зон «вниз», см. рис.2.)концентрация основных носителей заряда в области пространственного заряда растет, поверхностная проводимость G_s >0 и монотонно возрастает с ростом γ_s (правая часть рис.5.). Это соответствует режиму обогащения.

При отрицательном γ_s поверхностная проводимость G_s <0 и с ростом |γ_s| вплоть до

γ_s=2eψ_в/kT уменьшается, поскольку концентрация подвижных носителей заряда в слое пространственного заряда меньше чем в случае γ_s=0. Это соответ­ствует режиму обеднения. Эта ситуация будет иметь место до тех пор, пока скорость нарастания неосновных носителей заряда - в дан­ном случае дырок - с изменением γ_s не станет больше, чем скорость убывания концентрации основных носителей заряда – электронов. Это соответствует условию

n₀ = p_s (26)

т.е. концентрация электронов в объеме полупроводника равна концентрации дырок на поверхности.

Значение поверхностной проводимости, соответствующее этому условию, будет минимально и может быть найдено из условия экстремума

(26)

При достаточно высоком уровне легирования >>1 в нашем случае минимум G_s будет наблюдаться при достаточно больших по абсолютному значению поверхностных электростатических потенциалах

γ_s и, следовательно, выражение (27) может быть упрощено при использовании неравенств <1 и >1 для полупро­водника n-типа и <1 >1 для полупроводника р-типа (следует помнить о знаке γ_s). С учетом этого (27) примет вид:

(28)

Поскольку и

(29)

При μ_n=μ_p условие (29) соответствует (26), послед­нее обычно используют в качестве критерия образования инверсионного слоя. При этом выражение (28) тем точнее, чем лучше для данного полупроводника выполняется условие μ_n=μ_p.

Последующее увеличение (γ_s) приводит к резкому увеличению концентрации дырок, образованию инверсионного слоя и, следовательно, к увеличению поверхностной проводимости G_s. Все эти участ­ки кривой G_s (γ_s) приведены на рис.5.

До этого полагалось, что значения подвижностей носителей заряда в объеме и в слое пространственного заряда вблизи поверхности рав­ны. Однако это не так, в том случае когда при соударении с поверхностью, носитель заряда полностью или частично теряет дрейфовую составляющую скорости. Это так называемое диффузное рассеяние, в той или иной степени имеющее место в подавляющем числе практических случаев. Диффузное рассеяние приводит к уменьшению подвижности носителя заряда, движущегося в потенциальной яме (основного носителя заряда в случае слоёв обогащения и неосновного случае слоёв инверсии). Физической причиной, снижения подвижности является то, что при появлении электрического поля, нормального к поверхности, увеличивается составляющая скорости к поверхности и, как результат этого уменьшается время соударения носителя заряда с поверхностью. На рис.6. представлена зависимость подвижности носителей заряда в слое пространственного заряда от поверхностного электростатического потенциала в случае полностью диффузионного рассеяния.

Влияние поверхностного рассеяния на подвижность

носителей заряда в области поверхностного заряда