Рекомендуемая литература для третьего семестра

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. −М.: Наука, 1970-85. Т. 1, 2.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. −М.: Высш. шк., 1980. Ч. I, II.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. Пособие для студентов втузов. −3-е изд., перераб. и доп. −М.: Высш. шк., 1979.

Требования к оформлению контрольной работы

1. Контрольная работа должна быть выполнена на листах формата А4, сложенных в прозрачный файл и папку-скоросшиватель, чернилами любого цвета, кроме красного.

2. Оформление титульного листа см. в приложении.

3. Контрольная работа № 3 содержит 10 задач, номер варианта определяется по последней цифре зачетной книжки.

4. Решение задач располагается по порядку с первой по десятую, условия переписываются полностью. Решение задач следует излагать подробно, объясняя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

5. В конце работы указывается дата сдачи контрольной в деканат, приводится список используемой литературы и оставляется место для рецензии.

6. После получения прорецензированной работы, студент должен исправить все отмеченные ошибки и выполнить рекомендации рецензента.

Список задач контрольной работы № 3

1. Исследовать сходимость числового ряда.

1.1. . 1.2. .

1.3. . 1.4. .

1.5. . 1.6. .

1.7. . 1.8. .

1.9. . 1.10. .

2. Найти интервал сходимости степенного ряда.

2.1. . 2.2.

2.3. . 2.4. .

2.5. . 2.6. .

2.7. . 2.8. .

2.9. . 2.10. .

3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.

3.1. . 3.2. .

3.3. . 3.4. .

3.5. . 3.6. .

3.7. . 3.8. .

3.9. . 3.10. .

4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения у = у(х) дифференциального уравнения у' = f(х, y), удовлетворяющего начальному условию у(0) = у₀.

4.1. у' = cos x + y²; у(0) = 1.

4.2. у' = e^x + y²; у(0) = 0.

4.3. у' = y + y²; у(0) = 3.

4.4. у' = 2e^y  xy; у(0) = 0.

4.5. у' = sin x + y²; у(0) = 1.

4.6. у' = e^x + y; у(0) = 4.

4.7. у' = x² + y²; у(0) = 2.

4.8. у' = sin x + 0,5y²; у(0) = 1.

4.9. у' = 2e^y + xy; у(0) = 0.

4.10. у' = x + x² + y²; у(0) = 5.

5. Разложить данную функцию f(х) в ряд Фурье в интервале (a; b).

5.1. f(х) = x + 1 в интервале (, ).

5.2. f(х) = x² + 1 в интервале (2, 2).

5.3. f(х) = в интервале (, ).

5.4. f(х) = 1 + x в интервале (1, 1).

5.5. f(х) = в интервале (, ).

5.6. f(х) = 1  x в интервале (2,2).

5.7. f(х) = x в интервале (, ).

5.8. f(х) = x  1 в интервале (1, 1).

5.9. f(х) = x² в интервале (0, 2).

5.10. f(х) = в интервале (, ).

6. Найти общее решение дифференциального уравнения.

6.1. (х²  у²) у' = 2ху. 6.2. (1 + х²) у'  2ху = (1 + х²)².

6.2. ху' = . 6.4. ху' + у  3 = 0.

6.5. ху' +  у = 0. 6.6. у' cos x = (у + 1) sin x.

6.7. ху'  у = . 6.8. х²у' = 2ху + 3.

6.9. х²у' + у²  2ху = 0. 6.10. ху' + у  х  1 = 0.

7. Найти частное решение дифференциального уравнения y" + py' + qy = f(x), удовлетворяющее начальным условиям: у(0) = у₀,

у'(0) = .

7.1. y" + 4y'  12y = 8 sin 2x; у(0) = 0, у'(0) = 0.

7.2. y"  6y' + 9y = x²  x + 3; у(0) = 4/3, у'(0) = 1/27.

7.3. y" + 4y = е^2х; у(0) = 0, у'(0) = 0.

7.4. y"  2y' + 5y = xе^2х; у(0) = 1, у'(0) = 0.

7.5. y" + 5y' + 6y = 12 cos 2x; у(0) = 1, у'(0) = 3.

7.6. y"  5y' + 6y = (12х  7)е^х; у(0) = 0, у'(0) = 0.

7.7. y"  4y' + 13y = 26x + 5; у(0) = 1, у'(0) = 0.

7.8. y"  4y' = 6x² + 1; у(0) = 2, у'(0) = 3.

7.9. y"  2y' + y = 16е^х; у(0) = 1, у'(0) = 2.

7.10. y" + 6y' + 9y = 10е^3х; у(0) = 3, у'(0) = 2.

8. Элементы теории вероятностей и математической статистики.

8.1. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: а) студент знает все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета.

8.2. В каждой из двух урн находятся 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.

8.3. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попадает в цель; б) только два стрелка попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.

8.4. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.

8.5. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равно 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.

8.6. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.

8.7. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, наугад взятых из этой партии, ровно 3 окажутся дефектными.

8.8. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.

8.9. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30, на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной рана 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 – если на втором, 0,9 – если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.

8.10. Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наугад по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.

9. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂, причем х₁ < х₂. Известны вероятность р₁ возможного значения х₁, математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

9.1. р₁ = 0,1; М(Х) = 3,9; D(Х) = 0,09.

9.2. р₁ = 0,3; М(Х) = 3,7; D(Х) = 0,21.

9.3. р₁ = 0,5; М(Х) = 3,5; D(Х) = 0,25.

9.4. р₁ = 0,7; М(Х) = 3,3; D(Х) = 0,21.

9.5. р₁ = 0,9; М(Х) = 3,1; D(Х) = 0,09.

9.6. р₁ = 0,9; М(Х) = 2,2; D(Х) = 0,36.

9.7. р₁ = 0,8; М(Х) = 3,2; D(Х) = 0,16.

9.8. р₁ = 0,6; М(Х) = 3,4; D(Х) = 0,24.

9.9. р₁ = 0,4; М(Х) = 3,6; D(Х) = 0,24.

9.10. р₁ = 0,2; М(Х) = 3,8; D(Х) = 0,16.

10. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

10.1. F(x) =

10.2. F(x) =

10.3. F(x) =

10.4. F(x) =

10.5. F(x) =

10.6. F(x) =

10.7. F(x) =

10.8. F(x) =

10.9. F(x) =

10.10. F(x) =

Приложение

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

"Самарский государственный технический университет" в г. Сызрань

Кафедра ОТД

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

по дисциплине "Математика"

на тему "Ряды. Дифференциальные уравнения.

Элементы теории вероятностей"

Выполнил

студент группы _______

_____________________

(Ф.И.О.)

Проверил

к.п.н., доцент

Егорова И.П.

Сызрань, 2011