2.1. Проецирование многогранников

Построение проекций многогранника начинают с изображения всех его вершин. Соединив соответствующим образом, одноимённые проекции вершин, получают проекции рёбер и граней многогранника. При этом принято считать, что грани многогранника непрозрачные и поэтому отдельные рёбра невидимы и обводятся штриховой линией.

При решении вопроса видимости принимается следующее взаимное расположение: глаз наблюдателя, проецируемые элементы, плоскость проекций. Отсюда следует, что видимым будет тот элемент, который будет дальше от плоскости проекций и тем самым ближе к наблюдателю. Из двух точек А и В (рис.6), расположенных на одном фронтально проецирующем луче, видимой является точка А; точка В расположена за точкой а и, следовательно, невидима.

Рис.6

9

При проецировании многогранников большую помощь в понимании его устройства может оказать формула Эйлера:

Г + В – Р = 2

где: Г – число граней;

В – число вершин;

Р – число рёбер.

2.1.1. Призма

Задача. Спроецировать прямую четырёхугольную призму на три взаимно перпендикулярные плоскости П1, П2 и П3 (рис.7,а).

Рис.7,а

10

Предварительный анализ:

1. Рёбра АВ, CL, EF и KD расположены перпендикулярно фронтальной и параллельно горизонтальной плоскости проекций. Каждое из этих рёбер спроецируется на фронтальную плоскость проекций в виде точки, а на горизонтальную плоскость проекций в виде прямых, перпендикулярных к оси проекций ОХ.

2. Грани АBEF и CDKL перпендикулярны фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций, и они спроецируются на обе плоскости проекций в виде прямых, перпендикулярных к оси проекций ОХ.

3. Грани BDLF и FCKD конгруэнтны и параллельны фронтальной и перпендикулярны горизонтальной плоскостям проекций, в силу чего эти грани проецируются на фронтальную плоскость в виде фигуры, равной данным граням, а на горизонтальную плоскость - в виде прямых, параллельных оси проекций ОХ.

4. Верхняя грань ABLC, равная грани EKDF, проецируется в такую же равную фигуру на горизонтальную плоскость проекций.

5. Рёбра AE, BF, CK и DL, расположенные перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций, спроецируются на неё в виде точек, а рёбра AC, BL, EK, FD, расположенные параллельно фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций, проецируются в натуральную длину в виде отрезков, равных данным.

11

Рис.7,б

Проанализировав таким образом положение всех рёбер и граней призмы, перейдём к вычерчиванию проекций (рис.7,б)

Решение:

1. На фронтальной плоскости проекций (вид по стрелке S) грань призмы BDLF спроецируется в натуральный размер в виде прямоугольника (А2 ≡ В2, С2 ≡ D2, E2 ≡ F2, K2 ≡ L2). Задняя грань и передняя грань совпадут.

2. Аналогично находим горизонтальную проекцию призмы, которая изобразится в виде четырёхугольника, равного грани ABDC.

3. Нижнее основание и верхнее совпадут и дадут проекцию, у которой A1 ≡ E1, C1 ≡K1, D1 ≡L1, B1 ≡ F1.

4. По двум проекциям можно построить третью, для этого проведём под углом 45º постоянную чертежа, и с её помощью найдём все точки, проведя линии связи как с горизонтальной плоскости проекций, так и с фронтальной. В пересечении линий связи получим третью проекцию призмы (профильную).

12

Задача. Спроецировать шестиугольную призму на три плоскости проекций (рис.8,а).