2.3 Метод замещения полиномиальных элементов (поэлементное замещение)

Процедура преобразования методом поэлементного замещения имеет следующий вид.

Процедура 2.2

1. Число заданное в исходной системе счисления с основанием , представляется в виде суммы полиномов (1.1) и (1.2) в системе с основанием .

2. Все цифры и числа, используемые в полученном полиноме заменяются их представлениями в системе .

3. Выполняются операции над измененными полиномиальными членами по правилам требуемой системы счисления. К таким операциям относятся – возведение в степень оснований, умножение полученных степеней на цифры.

4. Полученные произведения складываются

5. Полученная сумма – число в новой системе счисления.

Процедуру целесообразно пояснить на следующем примере.

Пример 2.1 Выполнить методом поэлементного замещения преобразование .

Этап 1. Представление заданного двоичного числа в виде

Этап 2. Замещение двоичных чисел их десятичными эквивалентами

На этом этапе корректность преобразований обеспечивается тем, что все элементы исходного полинома заменяются (замещаются) их числовыми эквивалентами в требуемой системе счисления. Следовательно, числовые значения полиномиальных коэффициентов, а, следовательно, и полиномов в целом, равны между собой. Полученный полином пока не является числом в системе . Его можно интерпретировать как десятично-двоичный полином, требующий для конверсии дальнейших преобразований.

Этап 3. Поэлементные преобразования в требуемой системе счисления имеют вид

Слагаемые в правой части сохраняют количественные эквиваленты полиномиальных членов исходного двоичного полинома, т.е. например, ,

Этап 4. Перераспределение количественных эквивалентов в полиномиальном представлении десятичного числа иное, чем двоичном.

Правильно перераспределить количественные эквиваленты можно, используя операцию десятичного сложения

Таким образом,

Метод интуитивно понятен при преобразованиях из двоичной в десятичную системы счисления. В этом случае, преобразования обычно начинают со второго этапа.

Особенности метода поэлементного замещения состоят в следующем. Требуется различать особенности и возможности метода при преобразованиях целых и дробных чисел.

Целые числа. Метод универсален в том смысле, что обеспечивает преобразования из любой исходной системы в любую требуемую. В этом случае имеют место лишь различия в сложности процедур.

Дробные числа. Метод обеспечивает преобразования Однако, имеются ограничения при преобразованиях из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Смешанные числа. Рассматривая смешанные числа как сумму целого и дробного числа, можно сделать вывод об ограниченных возможностях метода при преобразовании дробной части смешанного десятичного числа в другие системы.

Для целых чисел универсальность метода подтверждаются следующими примерами.

Пример 2.2 Выполнить методом поэлементного замещения преобразование .

Этап 1. Представление заданного двоичного числа в виде

Этап 2. Замещение двоичных чисел их шестнадцатеричными эквивалентами

В правой части получен шестнадцати-двоичный полином.

Этап 3. Поэлементные преобразования в шестнадцатеричной системе счисления имеют вид

Этап 4. Итоговая операция шестнадцатеричного сложения

Таким образом,

Пример 2.3 Выполнить методом поэлементного замещения преобразование .

Этап 1. Представление заданного восьмеричного числа в виде

Этап 2. Замещение восьмеричных чисел их шестнадцатеричными эквивалентами

В правой части получен шестнадцати-восьмеричный полином.

Этап 3. Поэлементные преобразования в шестнадцатеричной системе счисления имеют вид

Этап 4. Итоговая операция шестнадцатеричного сложения

Таким образом,

Пример 2.4 Выполнить методом поэлементного замещения преобразование .

Этап 1. Представление заданного шестнадцатеричного числа в виде

полинома

Этап 2. Замещение шестнадцатеричных чисел их восьмеричными эквивалентами

В правой части получен восьми-шестнадцатеричный полином.

Этап 3. Поэлементные преобразования в шестнадцатеричной системе счисления имеют вид

Этап 4. Итоговая операция восьмеричного сложения

Таким образом,

Для дробных чисел возможны точные преобразования Сделанные утверждения подтверждаются следующими примерами.

Пример 2.5 Выполнить методом поэлементного замещения преобразование .

Этап 1. Представление заданного двоичного дробного числа в виде

полинома

Этап 2. Замещение двоичных чисел их десятичными эквивалентами

В правой части получен десятично-двоичный полином.

Этап 3. Поэлементные преобразования в десятичной системе счисления имеют вид

Этап 4. Итоговая операция десятичного сложения приводит к результату

Таким образом,

Пример 2.6 Выполнить методом поэлементного замещения преобразование .

Этап 1. Представление заданного восьмеричного числа в виде

Этап 2. Замещение восьмеричных чисел их шестнадцатеричными эквивалентами

В правой части получен шестнадцати-восьмеричный полином.

Этап 3. Поэлементные преобразования в шестнадцатеричной системе счисления имеют вид

Этап 4. Итоговая операция шестнадцатеричного сложения

Таким образом,

Существенным ограничением метода является то, метод не обеспечивает точный перевод для большинства чисел из десятичной системы в системы с основаниями 2,8,16.

Пример 2.7 Выполнить методом поэлементного замещения преобразование .

Этап 1. Представление заданного десятичного дробного числа в виде

Этап 2. Замещение десятичных компонентов их двоичными эквивалентами

В правой части получен двоично-десятичный полином.

Этап 3. Поэлементные арифметические операции в двоичной системе счисления приводят к следующему результату.

.

Таким образом, при делении двоичное частное представляет бесконечную дробь, состоящую из повторяющихся последовательностей цифр 1100.

К аналогичному результату приводит преобразование второго члена двоично-десятичного полинома

.

Этап 4. Итоговая операция двоичного сложения приводит к сумме

Правая часть полученного приближенного равенства стремиться снизу к точному значению . Абсолютная погрешность преобразования для этого случая – единица младшего разряда полученного двоичного числа. Погрешность уменьшается с увеличением разрядности преобразованного числа.

Существенно, что, полученная погрешность преобразования – это ограничения со стороны возможностей метода. Этот вывод следует из того, что число в двоичной системе имеет точное представление и равно

Несмотря на недостатки, метод поэлементного замещения является базовым как при “ручных “ переводов малоразрядных чисел, так и при машинном конвертировании чисел (данных). Его эффективность усиливает при использованием для вычислений т.н. “схемы Горнера”, рассматриваемой ниже.