2. Основные определения

П ользуясь представлениями лучевой оптики, мы рассматриваем каждую светящуюся точку источника как вершину расходящегося пучка лучей, именуемого гомоцентрическим, т. е. имеющим общий центр.

Е

Рис.4

Рис.5

сли после отражения и преломления этот пучок превращается в пучок, сходящийся также в одну точку, то и последний представляет собой гомоцентрический пучок и центр его является изображением светящейся точки. При сохранении гомоцентричности каждая точка источника дает одну точку изображения. Такие изображения называются точечными или стигматическими (рис. 4). В силу обратимости (взаимности) световых лучей (см. ниже) изображение можно рассматривать как источник, а источник – как изображение. Поэтому при стигматическом изображении центры наших пучков называются сопряженными точками той оптической системы, в которой происходит преобразование расходящегося гомоцентрического пучка в сходящийся. Соответственные лучи и пучки также называются сопряженными. Поверхность, нормальная к лучам, называется волновой поверхностью. В указанном смысле волнов ая поверхность имеет чисто геометрический смысл и не имеет того глубокого содержания, которое мы вкладывали в нее раньше. Волновая поверхность гомоцентрического пучка в однородной и изотропной среде есть, очевидно, сферическая поверхность.

Если в результате отражения и преломления пучок перестает быть гомоцентрическим, то волновая поверхность перестает быть сферой. Стигматичность изображения теряется, и точка уже не изображается точкой (рис. 5). Так как в практической оптике обычно ставится задача получения изображений, точно передающих форму источника, то важнейшим вопросом лучевой оптики является выяснение условий сохранения гомоцентричности пучков.

Физические основы оптических систем связи

Лекция 2

Вопросы

1. Закон взаимности или обратимости световых лучей

2. Преломление (и отражение) на сферической поверхности

3. Фокусы сферической поверхности

1. Закон взаимности или обратимости световых лучей

Пусть среда 1 отделена от вакуума тонкой плоскопараллельной пластинкой среды 2 (рис. 1.6); п₁, n₂ и N.₂₁ – абсолютные и относительный показатели преломления. Из рис. 1.6 ясно, что

; . Отсюда

П

Рис.6

усть среда 2 становится исчезающе тонкой. Тогда имеем sini/sin r= n₁. Т.е. . Повторяя те же рассуждения для случая, когда тонкий слой среды 1 отделяет среду 2 от вакуума, найдем или , т. е. отсюда следует, что при преломлении на границе двух сред лучи остаются взаимными, т. е. при изменении направления лучей на обратное их взаимное расположение не меняется (рис. 7). В законе отражения этот принцип обратимости светового пути также действителен, как легко видеть из рис. 1.8 без дальнейших объяснений.

Р ис.7 Р

Рис.1.6.

ис.8

Закон преломления при переходе из первой среды во вторую (рис. 1.7) гласит: или . (1)

Закон отражения (рис.1.8) выражается соотношением (2)

Его можно получить из предыдущей формулы, положив п₁ = - п₂, откуда sin i = - sin r, i = - r.

Итак, закон отражения получается из закона преломления, если положить п₂ = - n₁ и под r подразумевать угол отражения. Таким образом, любую формулу, выведенную для преломляющих систем, можно использовать для описания явлений в отражающих системах.

2. Преломление (и отражение) на сферической поверхности

Предположим, что две среды с показателями преломления п₁ и n₂ разделяются сферической поверхностью Σ (рис. 9). На линии LL', проходящей через центр сферы О, поместим точечный источник света L. Рассмотрим узкий гомоцентрический конус лучей, падающий из L на поверхность раздела двух сред.

П

Рис.9

редполагаем пучок настолько узким, т. е. угол ψ настолько малым, что практически можно считать отрезок лучей на сферической границе двух сред и т. д. Такой узкий пучок будем называть параксиальным (приосевым).

Возьмем какой-либо луч из этого пучка, например LA, падающий на Σ под углом i, построим сопряженный ему преломленный луч AL' (угол преломления r).

Из треугольника ALO ,

из треугольника OAL’ . Отсюда .(3)

В дальнейшем все отрезки вдоль оси будем отсчитывать от точки S, считая положительными отрезки, откладываемые от S вправо (в направлении распространяющегося света), и отрицательными – отрезки, откладываемые влево. Таким образом, AL ≈ SL = - а₁,

AL' ≈ SL' = a₂, AO = SO = R (радиус нашей сферы). В таком случае LO = - а₁ + R, OL' = а₂ - R. Из формулы (1) получим

, т.е. . (4)

Т.е. произведение при преломлении сохраняет свою величину Q. Его называют нулевым инвариантом Аббе. Для многих целей этой формуле удобно придать вид (5)

Следовательно, соотношение (5) справедливо для любого луна параксиального пучка. а₂ при заданных параметрах задачи (п₁, п₂, R) зависит только от а₁. Таким образом, все лучи параксиального гомоцентрического пучка, выходящего из L, пересекают ось в одной и той же точке L', которая является, следовательно, стигматическим изображением источника L. Итак, гомоцентрический пучок при преломлении на сферической поверхности остается гомоцентрическим, если он удовлетворяет условию параксиальности. Основное уравнение (5) охватывает все случаи преломления лучей на сферической поверхности. Пользуясь установленным выше правилом знаков, мы можем разобрать случаи выпуклой (R > 0) или вогнутой (R < 0) поверхности.

В случае (а₂ > 0) точка, именуемая изображением, есть действительно точка пересечения преломленных лучей. Такое изображение называется действительным. В случае (a₂ < 0), очевидно, преломленные лучи, идущие во второй среде, остаются расходящимися и реально не пересекаются. В этом случае название изображения относится к той воображаемой точке, которая представляет собой место пересечения предполагаемого продолжения преломленных лучей. Такое изображение называется мнимым.

Формула (1.5) показывает также, что если бы источник был в L', то изображение расположилось бы в L (взаимность).

3. Фокусы сферической поверхности

Из уравнения (1.5) следует, что

при , (6)

при , (7)

Величины f₁ и f₂ суть постоянные длины, характеризующие преломляющую поверхность. Они называются ее фокусными расстояниями: f₁ – переднее фокусное расстояние (точка F₁ – передний фокус); f₂ – заднее фокусное расстояние (точка F₂ – задний фокус) (рис. 10).

Таким образом, фокусом сферической поверхности называется точка, в которой сходятся после преломления параллельные лучи (т. е. лучи, идущие из бесконечно удаленной точки).

Ф

Рис.10

окусы, так же как и изображения, могут быть действительными и мнимыми.

Параллельные лучи, идущие справа налево вдоль N0 (см. рис. 10), сойдутся в фокусе F'₁, расположенном на линии N0 и лежащем также на расстоянии |f₁| от преломляющей поверхности. Геометрическое место точек F₁ F₁’ ... образует сферическую поверхность с радиусом (на рис. 10, f₁ < 0), концентрическую с преломляющей сферой (с центром в точке О). Эта поверхность носит название передней фокальной поверхности. Аналогично построим заднюю фокальную поверхность радиуса . Малые участки этих поверхностей (для параксиальной области) могут быть приняты за плоскости (фокальные плоскости). Фокусные расстояния сферической поверхности различны по знаку и не равны между собой по абсолютной величине, ибо

n₁ ≠ n₂. . (8)

Формулу (5) можно применить и к случаю отражения, если положить

n = - n₁. Тогда , (9)

т. е. известную формулу сферического зеркала. Фокусное расстояние такого зеркала определится по формуле (6) и равно . Т.е. формуле зеркала можно придать вид . (10)

В случае зеркала изображение действительное, если оно лежит по одну сторону с источником, и мнимое, если расположено за зеркалом.

Случаи вогнутого и выпуклого зеркала отличаются лишь знаком R. Фокус вогнутого зеркала – действительный, а фокус выпуклого зеркала – мнимый.

Чтобы получить законы плоского зеркала, достаточно положить . В этом случае найдем а₁ = - а₂, т.е. изображение точки в плоском зеркале мнимое и симметрично расположенное.

Физические основы оптических систем связи

Лекция 3

Вопросы

1. Изображение малых предметов при преломлении на сферической

поверхности

2. Увеличение. Теорема Лагранжа – Гельмгольца

3. Центрированная оптическая система