1.4Относительная частота

Как и вероятность, относительная частота является основным понятием ТВ.

Пусть в каждом опыте может появляться или не появляться событие А. Тогда, относительной частотой события А называется отношение числа испытаний (m’), в которых событие А появлялось, к общему числу испытаний (n').

1.4.1.1P’(A) = m’/n’

Вероятность вычисляется до опыта! Частота после !!!

При малом числе опытов n’ частота появления события А может сильно изменяться и принимать резко отличающиеся значения. При увеличении n’ частота события становится устойчивой характеристикой. Она хотя и изменяется, но незначительно, колеблясь около некоторого значения, численно равного вероятности появления этого события, т.е. если P(A) неизвестно, то мы можем принять за нее относительную частоту P’(A), вычисленную для большого числа опытов, которую (частоту) называют статистической вероятностью.

Так можно рассчитывать вероятность элементарных (простых событий). Вероятность сложных событий определяется косвенным методом, с использованием рассматриваемых ниже теорем.

1.5Теоремы сложения вероятностей

Суммой A + B двух событий A и В является событие, состоящее в появлении или события А, или события В, или обоих этих событий.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее из появления хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения несовместимых событий:

Вероятность появления одного из 2-х несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A) + P(B)

Обобщенная формулировка:

Вероятность того, что произойдет какое либо из n несовместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий:

P( A₁ + A₂ + + A_n ) = P(A₁) + P(A₂) + + P(A_n)

Следствие:

Сумма вероятностей единственно возможных и несовместных событий (полной группы событий) = 1

Теорема сложения совместимых событий:

Вероятность появления хотя бы одного из 2-х совместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий, без вероятности их совместного появления:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

1.6Теорема умножения вероятностей

Произведением 2-х событий А и В называют событие AB, состоящее в совместном появлении этих событий.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Условной вероятностью P_A(B) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема умножения вероятностей:

Вероятность совместного появления 2-х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

P(AB) = P(A)P_A(B) = P(B)P_B(A) = P(B)

Следствие:

Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

P(A₁A₂..A_n) = P(A₁) P_A1(A₂) P_A1A2(A₃)… P_A1…An-1(A_n),

В частности P(ABC) = P(A)P_A(B)P_AB(C)

Независимые события А и В – если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого:

P_A(B) = P(B), или

P_B(A) = P(A)

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи!!

Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые 2 из них независимы между собой. Несколько событий называются независимыми в совокупности или просто независимыми, если независимы каждые 2 из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Следствие: Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событие:

P(A₁A₂…A_n) =

Теорема:

Вероятность появления хотя бы одного из событий A₁, A₂, …, A_n , независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий

P(A) = 1 – q₁q₂…q_n,

где q_i – вероятность события

Если события A_i имеют одинаковую вероятность p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна:

P(A) = 1 – (1-p)ⁿ = 1 - qⁿ