Вопросы и упражнения
1. В каком случае векторное произведение двух векторов равно ?
а) оба вектора нулевые; б) хотя бы один из них равен ; в) векторы перпендикулярны; г) векторы коллинеарны.
2. При
каком значении
векторы
,
являются коллинеарными?
Ответ:
.
3. Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей добавить вектор, коллинеарный другому сомножителю.
4. Вычислить
векторное произведение векторов,
заданных своими декартовыми координатами
,
.
Ответ:
.
5. При
каком условии справедливо равенство
,
если
?
Ответ:
коллинеарен вектору
.
6. Дать алгебраическое доказательство того, что смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю.
Указание: воспользоваться следствием к теореме 3.4.2.
7.
Вычислить объем параллелепипеда,
построенного на векторах
,
,
.
Какую ориентацию имеет тройка
,
,
?
Ответ: 25, отрицательная ориентация (левая тройка).
8. Проверить справедливость равенства
.
9.
Доказать компланарность векторов
,
,
,
если
.
10. Доказать,
что если
,
,
то
.