3.3.4. Синтез ких-фильтров для специальных способов реализации

Любой КИХ-фильтр при известном импульсном отклике можно реализовать с помощью либо прямой свертки, либо ДПФ. Другие (часто весьма эффективные) способы реализации обычно ограничивают класс реализуемых фильтров и требуют специальных алгоритмов синтеза. Простейшим из методов реализации является каскадное соединение фильтров.

Рис. 3.8. Частотный отклик (11х11)-точечного КИХ-фильтра нижних частот, синтезированного методом окон

Для синтеза фильтра в каскадной форме, необходимо сначала выразить частотный отклик в виде произведения сомножителей

(3.35)

После этого коэффициенты фильтра можно выбрать методом итераций из условия минимальности функционала ошибки.

Два КИХ-фильтра с импульсными откликами и , соединенные параллельно, эквивалентны одному фильтру с импульсным откликом

(3.36)

В общем случае опорная область для h будет объединением опорных областей для h₁ и h₂. Но она может быть и меньше, если два фильтра гасят друг друга. Правда, такое разложение редко приводит к сокращению объема вычислений; фактически объем вычислений может увеличиться.

Для сокращения объема вычислений можно наложить на h₁ и h₂ некоторые ограничения, например, потребовать, чтобы h₁ и h₂ были разделимыми фильтрами. Разделимые фильтры отличаются высокой эффективностью реализации, но с их помощью можно точно аппроксимировать только разделимые импульсные отклики. Но при параллельном соединении двух разделимых фильтров образуется неразделимый фильтр. Это дает возможность аппроксимации неразделимых переходных характеристик с помощью легко реализуемых фильтров. Эта идея была первоначально предложена Трейтелем и Шэнксом [2], которые назвали такие фильтры многоступенчатыми разделимыми фильтрами.

Функция следующего вида

(3.37)

является импульсным откликом разделимой системы. Частотный отклик такого фильтра равен прямому произведению двух одномерных частотных откликов.

Такой фильтр можно реализовать путем свертки каждой строки входной последовательности с , а затем каждого столбца результата с  . Если импульсный отклик содержит N₁хN₂ отсчетов, то вычисление каждого выходного отсчета потребует всего лишь N₁ + N₂ операций умножения и сложения для вычисления сверток столбцов.

3.4. Синтез и реализация двумерных бих-фильтров

Входной и выходной сигналы двумерного БИХ-фильтра удовлетворяют линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами, которое дает возможность вычислить значение выходного отсчета по значениям входных отсчетов и ранее вычисленных выходных отсчетов.Характеристика двумерных БИХ-фильтров совпадает с характеристикой одномерных БИХ-фильтров.

Способы реализации одномерных БИХ-фильтров представлены в п. 2.1. Классические способы реализации двумерных БИХ-фильтров являются развитием этих одномерных способов, однако для них характерны некоторые особенности, отсутствующие в одномерном случае. Например, в одномерных разностных уравнениях порядок вычисления обычно определен однозначно. В двумерном же случае имеется свобода при решении вопроса о том, в каком порядке будут выполняться вычисления значений очередных отсчетов.

БИХ-фильтр можно реализовать в прямой форме, если преобразовать разностное уравнение таким образом, чтобы значение выходного отсчета выражалось через значения входных отсчетов, а также уже найденных выходных отсчетов. Для фильтра входной сигнал связан с выходным сигналом следующим соотношением:

(3.38)

Поскольку отклик фильтра на импульс по определению равен импульсному отклику , то можно получить следующее соотношение

(3.39)

Выполнив двумерные z-преобразования выражений, стоящих слева и справа от знака равенства, решим это уравнение относительно .

(3.40)

Можно считать, что полученное отношение описывает каскад из двух фильтров, КИХ-фильтра с передаточной функцией и чисто рекурсивного фильтра с передаточной функцией, равной , как это показано на рис. 3.9.

Двумерные БИХ-фильтры можно конструировать с помощью последовательного и параллельного соединений более простых двумерных БИХ-фильтров. Рассмотрим, например, фильтр, представленный на рис. 3.10, в виде каскада из N двумерных БИХ-фильтров. Если принять, что передаточная функция 1-го фильтра в каскаде имеет вид:

(3.41)

то результирующая передаточная функция определяется следующим произведением:

(3.42)

Рис. 3.9. Представление сигнала с передаточной функцией

Рис. 3.10. Каскад из N простых двумерных БИХ-фильтров

На рис. 3.11 изображен полосовой фильтр, для построения которого ФНЧ с круговой симметрией соединен последовательно с ФВЧ. Полосы пропускания этих фильтров обозначены на рисунке наклонной штриховкой, а области их пересечения представляют собой по­лосу пропускания результирующего полосового фильтра.

Сложный двумерный БИХ-фильтр можно также построить с помощью параллельного соединения фильтров, как это показано на рис. 3.12. В этом случае результирующая передаточная функция имеет вид:

(3.43)

Параллельная архитектура также может оказаться полезной при реализации двумерных БИХ-фильтров, у которых импульсный отклик не ограничивается одним квадрантом, например, симметричных фильтров. В этом случае импульсный отклик с опорной областью на всей плоскости можно разбить на четыре отдельных импульсных отклика, по одному на каждый квадрант. Затем можно построить фильтры, соответствующие отдельным квадрантам, и, соединив все четыре фильтра парал­лельно, получить требуемый 4-квадрантный импульсный отклик.

Рассмотрим методы синтеза по критериям ошибки, заданным в частотной области. В силу теоремы Парсеваля среднеквадратичная ошибка одинакова в обеих областях

(3.44)

Рис. 3.11. Полосовой фильтр

Методы синтеза в частотной области популярны по ряду причин. Во-первых, аппроксимирующую функцию легко записать в виде функции от параметров фильтра, позволяющей легко вычислять любые частные производные. Во-вторых, часто бывает, что заданными оказываются не все характеристики требуемого отклика. Например, может интересовать только получение необходимой амплитуды отклика, а его фазовые характеристики могут не иметь значения. Такому частичному описанию гораздо проще реализовать частотным методом, чем пространственным.

Часто (особенно при обработке изображений) требуется филь­трация сигнала фильтром с симметричным импульсным откликом.

Рис. 3.12 Параллельное соединение N простых двумерных БИХ-фильтров, дающее более сложный двумерный БИХ-фильтр

Такие фильтры обладают частотным откликом с вещественными значениями, или с нулевой фазой. Ранее БИХ-фильтры с нулевой фазой реализовывались обычно двумя способами – последовательным (каскадным) или параллельным.

При каскадном способе организации фильтр с импульсным откликом h( ) включается последовательно с фильтром, имеющим импульсный отклик h(- ). Результирующий им­пульсный отклик такого каскада имеет вид , а результирующий частотный отклик – вид вещественной неотрицательной функции

(3.45)

Как показывает это выражение, частотный отклик каскада ограничен классом неотрицательных функций . Кроме того, в этом случае возникают некоторые вычислительные трудности из-за переходных процессов. Выходные отсчеты второго фильтра каскада вычисляются рекурсивно, причем рекурсия выполняется в направлении, противоположном направлению для первого фильтра. Если h (п₁, п₂) – отклик БИХ-фильтра, то его выходной сигнал имеет бесконечную протяженность, и теоретически перед тем, как начать фильтрацию h (–п₁, –п₂), следует вычислить бесконечное число значений выходных отсчетов первого фильтра, даже если в конце требуется получить сигнал в ограниченной области. Усечение вычислений в первом фильтре может привести к появлению ошибки. На практике следует вычислять выходной сигнал первого фильтра по достаточно протяженной области, чтобы переходные процессы на выходе второго фильтра за счет начальных отсчетов в достаточной степени затухли в интересующей нас области выходного сигнала.