Упражнение 3.15.
Найти все векторы,
перпендикулярные векторам
и
>> A=[-1,3,2];
>>B=[3,-2,2];
>> cross(A,B)
ans =
10 8 -7
>>cross(B,A)
ans =
-10 -8 7
>> det([i,j,k;A;B])
ans =
10*i + 8*j - 7*k
>> det([i,j,k;B;A])
ans =
7*k - 8*j - 10*i
Упражнение 3.16.
Упростить выражение
Затем найти скалярное произведение тех
же векторов.
>> syms a1 a2 a3 b1 b2 b3
>> a=[a1 a2 a3];b=[b1 b2 b3];
>> ans1= cross(a,b)
ans1 =
[ a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1]
>> ans2=cross(a+2*b,a-2*b)
ans2 =
[ (a2 + 2*b2)*(a3 - 2*b3) - (a2 - 2*b2)*(a3 + 2*b3), (a1 - 2*b1)*(a3 + 2*b3) - (a1 + 2*b1)*(a3 - 2*b3), (a1 + 2*b1)*(a2 - 2*b2) - (a1 - 2*b1)*(a2 + 2*b2)]
>> simplify(ans2)
ans =
[ 4*a3*b2 - 4*a2*b3, 4*a1*b3 - 4*a3*b1, 4*a2*b1 - 4*a1*b2]
>> ans2./ans1
ans =
[ -((a2 - 2*b2)*(a3 + 2*b3) - (a2 + 2*b2)*(a3 - 2*b3))/(a2*b3 - a3*b2), -((a1 - 2*b1)*(a3 + 2*b3) - (a1 + 2*b1)*(a3 - 2*b3))/(a1*b3 - a3*b1), -((a1 - 2*b1)*(a2 + 2*b2) - (a1 + 2*b1)*(a2 - 2*b2))/(a1*b2 - a2*b1)]
>> simplify(ans)
ans =
[ -4, -4, -4]
Вывод
>> a1 = a+2*b
a1 =
[ a1 + 2*b1, a2 + 2*b2, a3 + 2*b3]
>> b1 = a-2*b
b1 =
[ a1 - 2*b1, a2 - 2*b2, a3 - 2*b3]
>> a1b1 = sum(a1.*b1)
a1b1 =
(a1 - 2*b1)*(a1 + 2*b1) + (a2 - 2*b2)*(a2 + 2*b2) + (a3 - 2*b3)*(a3 + 2*b3)
>> simplify(a1b1)
ans =
a1^2 + a2^2 + a3^2 - 4*b1^2 - 4*b2^2 - 4*b3^2
Вывод. Скалярное
произведение тех же векторов преобразуется
к совершенно иному виду, а именно,
Упражнение 3.17.
Найти векторное
произведение векторов
и
.
Изобразить все данные и результат.
Первый вектор изобразить синим, второй
зеленым, результат красным. Сделать
выводы: как связаны определение векторного
произведения и то, что мы получили на
рисунке.
>> a=[1,2,0];b=[2,1,0];
>> c=cross(a,b)
c =
0 0 -3
>> grid on, hold on
>> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
>> axis square
>> line([-5 0 0;5 0 0], [0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','black')
>> box on
>> line([0 1],[0,2],'LineWidth',2)
>> plot3(1,2,0,'>','LineWidth',2)
>> line([0 2],[0,1],'Color','green','LineWidth',2)
>> plot3(2,1,0,'>g','LineWidth',2)
>> line([0 0],[0,0],[0 -3],'Color','red','LineWidth',2)
>> plot3(0,0,-3,'>r','LineWidth',2)
>> plot3(5,0,0,'<k','LineWidth',2)
>> plot3(0,5,0,'<k','LineWidth',2)
>> plot3(0,0,5,'<k','LineWidth',2)
>> text(4.5,-0.5,0.8,'X')
>> text(-0.5,4.5,0.8,'Y')
>> text(-0.5,-1,4.5,'Z')
Выводы: Синий
вектор
,
зеленый вектор
и красный вектор
образуют правую тройку. Вектор
перпендикулярен плоскости векторов
и
.
С длиной вектора дело обстоит сложнее.
Найдем длину вектора . В данном случае очевидно, что длина вектора равна 3.
Изобразим параллелограмм, натянутый на векторы и .
Еще раз напишем, что
длина вектора
равна площади желтого параллелограмма
Изобразим плоскость желтого параллелограмма:
>> x1=0:0.1:1.9;y1=0:0.05:0.95;x2=1:0.1:2.9;y2=2:0.05:2.95;
>> line([x1; x2],[y1; y2],'Color','yellow','LineWit')
Упражнение 3.18.
Вычислить площадь
треугольника с вершинами
и
Изобразить плоскость треугольника. Как
соотносятся площадь треугольника и
векторное произведение. Изобразить это
соответствие по аналогии с предыдущим
упражнением.
>> A=[1,3,-1];B=[2,-1,4];C=[5;0;3];
>> AB = B-A
AB =
1 -4 5
>> AC = C-A
AC =
4 -3 4
>> modAB = sqrt(1+4^2+5^2)
modAB =
6.4807
>> modAC = sqrt(4^2+3^2+4^2)
modAC =
6.4031
>> cosA = sum(AB.*AC)/(modAC*modAB)
cosA =
0.8675
>> sinA = sqrt(1 - cosA^2)
sinA =
0.4974
>> axb = cross(AB,AC)
axb =
-1 16 13
>> modaxb = sqrt(1^2+16^2+13^2)
modaxb =
20.6398
>> S = modAB*modAC*sinA/2
S =
10.3199
>> modaxb/S
ans =
2
Значит, модуль векторного произведения в 2 раза больше площади треугольника, построенного на этих векторах.
>> hold on
>> grid on
>> box on
>> axis square
>> plot3(5,0,3,'.')
>> plot3(2,-1,4,'.')
>> plot3(1,3,-1,'.')
>> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
>> line([-5 0 0;5 0 0],[0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','k')
>> line([1:0.04:5;2:0.00002:2.002],[3:-0.03:0;-1:-0.00002:-1.002],[-1:0.04:3;4:0.00002:4.002],'Color','b','LineWidth',2)
