Уравнение волны. Энергия волн.

Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В простейших случаях они имеет форму плоскости или сферы, а соответствующая волна называется плоской или сферической. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. Пусть частицы среды, лежащие в плоскости x = 0 , начинают в момент t=0 совершать колебания по гармоническому закону. Это значит, что смещение частиц изменяется во времени по закону синуса или косинуса, например:

y = A sinωt (12)

где у - смещение данных частиц от положения равновесия в момент времени t, А -максимальное значение смещения (амплитуда); ω - циклическая частота.

Пренебрегая затуханием в среде, получим уравнение колебания частиц, расположенных в плоскости, соответствующей произвольному значению x>0 (рис.1). Пусть волна распространяется в направлении возрастания х. Чтобы пройти путь от плоскости x=0 до указанной плоскости, волне требуется время

( 13)

где v -скорость перемещения поверхности постоянной фазы (фазовая скорость).

Поэтому колебания частиц, лежащих в плоскости х, начнутся в момент t = τ будут происходить по такому же закону, что и в плоскости х=0, но с отставанием по времени на величину τ, а именно:

Рис. 1

(14)

Иначе говоря, смещение частиц, находившихся в момент t=0 в плоскости х, в момент t будут такими же, как в плоскости х=0, но в более ранний момент времени

t₁= (15)

Учитывая (13), получаем:

y = A sinω (16)

Уравнение (16) представляет собой уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х. Из него можно определить отклонение частиц среды от равновесия в любой точке пространства с координатой х и в любой момент времени t при распространении указанной волны. Вместо синуса в (16) можно поставить косинус. Аргумент косинуса или синуса называют фазой колебания. Фаза определяет состояние колебательного процесса в данный момент времени (знак и абсолютную величину относительного отклонения частиц от их положения равновесия). Из (15) видно, что фаза колебаний частиц, расположенных в плоскости х, меньше соответствующей величины для частиц, расположенных в плоскости х=0, на величину, равную .

Если плоская волна распространяется в направлении убывания х (налево), то уравнение (16) преобразуется к виду:

У = A sinω (17)

Учитывая, что

,(18)

запишем (16) в виде:

у=A cos2π (19)

где Т - период колебания, ν - частота.

Расстояние λ, на которое волна распространяется за период Т

λ=υT (20)

называется длиной волны.

Можно также определить длину волны и как расстояние между двумя ближайшими точками, фазы колебаний которых отличаются на 2π (рис.2).

Рис. 2

В дальнейшем более удобно использовать в уравнении волны косинус. Учитывая (19 и 20), уравнение бегущей волны можно представить в виде:

(21)

где - волновое число, показывающее, сколько длин волн укладывается на расстоянии, равном 2π метров.

Для бегущей волны, распространяющейся против положительного направления оси х, получим:

(21а)

При распространении волны происходит перенос энергии в пространстве. Плотность кинетической энергии w_k (равная кинетической энергии единицы объема) составляет

, где ρ - плотность среды, u -скорость колебательного движения частиц среды (не путать со скоростью распространения волны v). Поскольку u = dy/dt, то из (21) получим:

= (22)

В отличие от обычных локальных колебаний (математический маятник, груз на пружине и т.п.), потенциальная энергия бегущей волны определяется не смещением некоторого участка от положения равновесия, а его относительной деформацией dy/dx,(dx - длина участка в невозмущенном состоянии, dy –изменение длины участка при прохождении волны). Плот-ность потенциальной энергии (равная потенциальной энергии единицы объема) равна ,

где к₀ -

Дифференцируя (21) по х и подставляя значение учитывая (1), получим:

= (23)

Как видно из (22) и (23), для бегущей волны в любой момент времени выполняется равенство: w_k = w_p. Иначе говоря, кинетическая и потенциальная энергии колеблются в одной фазе (т.е. достигают своих максимальных или минимальных значений одновременно). Это является существенным отличием от локальных колебаний, для которых кинетическая и потенциальная энергии колеблются в противофазе.

Плотность колебательной энергии для бегущей волны

w = w_k + w_p.

С учетом (22,23) получим

= (24)

Эта величина колеблется во времени с частотой, вдвое большей частоты колебаний частиц среды. Среднее по времени значение плотности энергии волны для любой точки, через которую проходит волна, равно

(25).

Множитель 0.5 возникает за счет того, что среднее значение квадрата синуса за период как раз равно 0,5.

Таким образом, плотность колебательной энергии, переносимой волной, пропорциональна плотности среды и квадратам частоты и амплитуды.

Особую роль играют гармонические волны (см., например, уравнения (16) и (17)). Это связано с тем, что любое распространяющееся колебание, какова бы ни была его форма, всегда можно рассматривать как результат суперпозиции (сложения) гармонических волн с соответственно подобранными частотами, амплитудами и фазами.