§4. Функции нескольких переменных

1. Основные определения

Определение 1. Соответствие, которое каждой паре (x; y) значений переменных x и y, принадлежащей некоторому множеству пар D, сопоставляет одно и только одно число zR, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R. При этом пишут z = f(x;y). D = D(f) – область определения функции f.

2. Частные и полное приращения функции двух переменных

Если в функции z = f(x; y) двух переменных x и y зафиксировать значение одной из них, например y = y₀, то получим функцию z = f(x; y₀), зависящую от одной переменной х.

Аналогично, если зафиксировать переменную x = x₀, получим функцию z = f(x₀; y) одной переменной у.

Определение 2. Величина _xz = f(x₀+x; y₀)  f(x₀; y₀) называется частным приращением функции z = f(x; y) в точке (x₀; y₀) по аргументу х.

Определение 3. Величина _yz = f(x₀; y₀+y)  f(x₀; y₀) называется частным приращением функции z = f(x; y) в точке (x₀; y₀) по аргументу y.

Определение 4. Величина z = f(x₀+x; y₀+y)  f(x₀; y₀) называется полным приращением функции z = f(x; y) в точке (x₀; y₀).

3. Частные производные функции двух переменных

Пусть дана функция z = f(x; y) двух независимых переменных x и y. Фиксируя одну из них, например, полагая у = const, приходим к функции одной переменной x. Тогда можно ввести понятие производной полученной функции по x, которую обозначим . Согласно определению производной функции одной переменной имеем:

Определение 5. Предел отношения частного приращения _xz функции z=f(x; y) по переменной x к приращению x переменной x при x, стремящимся к нулю, называется частной производной функции по x и обозначается ; ;

Аналогично определяется и обозначается частная производная функции z = f(x; y) по переменной y.

Пример 1. Найти частные производные функций:

1. f(x; y) = x³ + x² y² + y³ + 3;

2. z = x^y + y^x.

Решение

1. Полагая y = const, и считая при этом x независимой переменной, найдем

Аналогично при x = const, получим .

2. При y = const

;

при x = const

Все сказанное можно распространить на функции любого числа переменных.

Пример 2. Найти частные производные функции

u = f(x; y; z) = cos(x² + y² + z²).

Решение

sin(x² + y² + z²)  2x, y = const, z = const;

sin(x² + y² + z²)  2y, x = const, z = const;

sin(x² + y² + z²)  2z, x = const, y = const.

Поскольку частные производные от функции нескольких переменных также являются, вообще говоря, функциями нескольких переменных, то для них можно также вычислять частные производные. Эти производные называют частными производными высших порядков.

Например, для функции f(x; y) двух переменных имеются следующие типы производных второго порядка:

 вторая частная производная по x;

и =  смешанные частные производные

 вторая частная производная по у.

4. Полный дифференциал функции двух переменных

Определение 6. Полным дифференциалом функции z=f(x;y) двух переменных x и y называется главная часть полного приращения z, линейная относительно приращений аргументов x и y.

C учетом того, что x = dx и y = dy полный дифференциал функции z = f(x; y) вычисляется по формуле

dz = . (2.5)

Пример 3. Вычислить полный дифференциал функции

z = ln (x² + y²).

Решение. Найдем частные производные и данной функции

;

После их подстановки в формулу (2.5) получим

dz =

Найти частные производные функций

284. z = x² + 2xy + y² + 5 285. z = (x + y)³

286. z = 287. z =

288. z = x³y  y³x 289. z = 2y

290. z = x y ln(x + y) 291. z = ln

292. z = ln + ln x·y 293. z =

294. z = e^y/x – e^x/y 295. z = x^y + sin

296. z = sin(x²y + xy²) 297. z = y^x + arctg

Найти частные производные второго порядка

298. z = x⁴ + 4x²y³ + 7xy + 1 299. z = x²y

300. z = 4x³ + 3x²y + 3xy² – y³ 301. z = xy + sin(x + y)

302. z = sin x cos y 303. z =

304. z = xe^y 305. z = x + y +

306. z = x^2y 307. z = ln(x + e^xy)

Проверить, что

308. z = 309. z = ln(x  2y)

310. z = 311. z = x² sin

312. z = 313. z = arctg

Найти полный дифференциал функций

314. z = xy³  3x²y² + 2y⁴ +1 315. z = 3x²y⁵

316. z = sin(x² + y²) 317. z = x^y

318. z = e^xy 319. z = e^x cos y

320. z = e^y cos x 321. z = cos + sin