- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •«Розробка програмного забезпечення»
- •Інструкція
- •Оцінка елементів модулів з дисципліни «Лінійна алгебра та аналітична геометрія»
- •Модуль № 1
- •Підготовка до самостійної роботи № 2.
- •4. Підготовка до заліку за теорією
- •Модуль № 2
- •Підготовка до самостійної роботи № 4.
- •Підготовка до заліку за теорією.
- •Підготовка до самостійної роботи № 5.
- •Виконання другої частини семестрового завдання.
- •Вказівки до виконання семестрового завдання (частина 1)
- •Вказівки до виконання семестрового завдання (частина 2)
- •Варіанти семестрового завдання (частина 1)
- •Варіанти семестрового завдання (частина 2)
- •Підготовка до іспиту Екзаменаційні питання
- •Екзаменаційні задачі
- •Література
Підготовка до самостійної роботи № 5.
Для підготовки до самостійної роботи № 5 необхідно розв’язати наступні задачі:
1) Привести рівняння кола до канонічного, знайти центр і радіус, зобразити коло: .
2) Знайти координати фокусів, довжини осей, ексцентриситет еліпса, заданого рівнянням .
3) Знайти координати фокусів, довжини осей, ексцентриситет та рівняння асимптот гіперболи, заданої рівнянням .
Відповіді:
1) ,
2)
3)
Виконання другої частини семестрового завдання.
Правила оформлення семестрового завдання дані у вступі даного методичного посібника. Згідно свого варіанту виконайте завдання другої частини, які вказані на сторінці .
Вказівки до виконання семестрового завдання (частина 1)
Завдання 1. Для обчислення визначника четвертого порядку необхідно використати теорему про розкладання визначника по елементах рядка або стовпця:
Сума добутків елементів будь-якого рядка (або стовпця) визначника на їх алгебраїчні доповнення дорівнює цьому визначнику, тобто:
або
.
Приклад 1. Обчислити визначник:
.
Розв’язання. Розкладемо визначник по третьому стовпцю:
Визначники третього порядку знайдемо окремо.
За правилом трикутників знайдемо перші два визначника у розкладанні:
Третій визначник розкладемо за другим стовпцем:
Завдання 2. Розглянемо розв’язання систем лінійних рівнянь трьома методами.
Метод Крамера.
Розв’язання. Обчислимо головний визначник системи та допоміжні визначники , , .
.
; ; .
За формулами Крамера, отримаємо
; ; .
Відповідь: (1; 1; 0).
Якщо визначник системи дорівнює нулю.
1. і кожний визначник . Це має місце тільки тоді, коли коефіцієнти при невідомих пропорційні, тобто кожне рівняння системи виходить з першого рівняння множенням обох його частин на число . Очевидно, що при цьому система має нескінченну кількість розв’язків.
2. і хоча б один з визначників . Це має місце тільки тоді, коли коефіцієнти при невідомих, крім , пропорційні. При цьому виходить система з суперечливих рівнянь, яка не має розв’язку.
Метод Гаусу.
Приклад 1.
Розв’язання.
У цієї системи коефіцієнт відмінний від нуля. Якщо б ця умова не виконувалась, то необхідно було б переставити місцями рівняння, поставивши першим те рівняння, в якому коефіцієнт при не дорівнює нулю.
Зробимо наступні перетворення:
оскільки , перше рівняння запишемо без змін;
замість другого рівняння запишемо рівняння, яке отримується, якщо з другого рівняння відняти перше, помножене на 4;
замість третього рівняння запишемо різницю третього і першого, помноженого на 3;
замість четвертого рівняння запишемо різницю четвертого і першого, помноженого на 5.
Отримана нова система еквівалентна початковій і має у всіх рівняннях, крім першого, нульові коефіцієнти при (це було метою перетворення):
Для приведення наступних перетворень не потрібно записувати всю систему, як це було зроблено. Запишемо розширену матрицю початкової системи:
Після перетворень отримали таку розширену матрицю:
Перетворимо цю матрицю наступним способом:
оскільки , перші два рядка залишимо без змін;
замість третього рядка запишемо різницю між другим та подвоєним третім;
замість четвертого рядка запишемо різницю між подвоєним другим рядком та помноженим на 5 четвертим.
У результаті отримали матрицю, в якій невідома виключена з усіх рівнянь, крім першого, а невідома – з усіх рівнянь, крім першого та другого:
Тепер виключаємо невідому з четвертого рівняння. Для цього останню матрицю перетворимо так:
оскільки , перші три рядки залишимо без змін;
замість четвертого рядка запишемо різницю між третім, помноженим на 39, і четвертим:
Отримана матриця відповідає системі:
З останнього рівняння цієї системи отримаємо . Підставимо це значення у третє рівняння, отримаємо . Тепер з другого рівняння випливає, що , а з першого – .
Приклад 2.
Розв’язання.
Зробимо наступні перетворення розширеної матриці системи:
перше рівняння запишемо без змін;
замість другого рядка запишемо різницю між другим рядком і подвоєним першим;
замість третього рядка запишемо різницю між третім рядком і подвоєним першим;
четвертий рядок замінимо різницею між четвертим і першим;
п’ятий рядок замінимо різницею між п’ятим і подвоєним першим.
У результаті перетворень отримали матрицю:
Залишаємо перші два рідка цієї матриці без змін, приводимо її елементарними перетвореннями до наступного виду:
За допомогою третього рядка приводимо до нуля коефіцієнти при у четвертому і п’ятому рядках. Далі поділимо всі елементи другого рядка на 5, а всі елементи третього рядка на 2, отримаємо матрицю:
Два останні рядка матриці відповідають рівнянню Це рівняння задовольняє будь-якому набору чисел , його потрібно видалити з системи. Таким чином, система отриманої розширеної матриці еквівалентна системі з розширеною матрицею виду:
Останній рядок матриці відповідає рівнянню . Якщо невідомим та задати довільні значення: , то з останнього рівняння системи, отримаємо . Підставивши значення , та у друге рівняння, отримаємо . Тепер з першого рівняння можна отримати . Отже, розв’язання системи має вид:
Приклад 3.
Робимо перетворення:
Останній рядок матриці відповідає рівнянню , яке не має розв’язків. Отже, початкова система не має розв’язків.
Висновок:
Якщо при використанні елементарних перетворень до системи рівнянь, хоча б одне рівняння приводиться до виду:
то система несумісна або суперечлива, бо жоден набір чисел не задовольняє цьому рівнянню.
Матричний метод.
Розв’язання.
Матриця коефіцієнтів при невідомих має вигляд:
,
матриця невідомих:
,
та матриця вільних членів
.
По-перше, щоб розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом, треба знайти оберну матрицю до матриці .
1. Знайдемо визначник.
.
, значить, обернена матриця існує.
2. Найдемо алгебраїчні доповнення до кожного з елементів матриці .
.
Запишемо нову матрицю, яка буде складатися з алгебраїчних доповнень.
.
3. Транспонуємо отриману матрицю.
.
4. Помножимо останню матрицю на ,отримаємо обернену матрицю.
.
По-друге, скористаємося формулою для знаходження невідомих.
.
Отже, .
Відповідь: .
Завдання 3. Перевіримо на колінеарність вектори й , побудовані по векторах й ?
Розв’язання.
1 спосіб. Вектори колінеарні, якщо їхні відповідні координати пропорційні.
Спочатку знаходимо координати векторів й :
Маємо,
Отже, вектори й неколінеарні.
2 спосіб. Вектори колінеарні, якщо їхній векторний добуток дорівнює нулю.
Аналогічно, знаходимо координати векторів й :
Обчислюємо векторний добуток:
Отже, вектори й неколінеарні.
Завдання 4. Знайти косинус кута між векторами й :
Розв’язання. Косинус кута між векторами й знаходять за формулою:
Для обчислення координат векторів використовуємо формули:
;
.
Довжини векторів обчислимо так:
;
.
Маємо,
Завдання 5. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах й , якщо кут між векторами й дорівнює :
Розв’язання. Площа паралелограма дорівнює модулю векторного добутку векторів й :
.
Обчислюємо векторний добуток , використовуючи його властивості:
.
Завдання 6. Перевірити вектори , і на компланарність:
Розв’язання.
Вектори компланарні(лежать на одній площині або на паралельних площинах), якщо їхній мішаний добуток дорівнює .
Знаходимо мішаний добуток за формулою:
Робимо висновок, що вектори , і не компланарні.