- •§ 3 Определенный интеграл п.1 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •П.2 Определение интеграла Римана
- •П.3 Необходимое условие интегрируемости функции
- •П.4 Достаточное условие интегрируемости функции
- •П.5 Классы интегрируемых функций
- •§ 4 Свойства определенного интеграла п.1 Другая формулировка критерия интегрируемости
- •П.2 Свойства, связанные с операциями над функциями
- •П.3 Свойства, связанные с отрезками интегрирования
- •П.4 Оценки интегралов
- •П.5 Интегральная теорема о среднем
- •§ 5 Интеграл с переменным верхним пределом
- •П.1 Определение и свойства интеграла с переменным верхним пределом
- •П.3 Замена переменной в определенном интеграле
- •П.4 Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •§ 6 Приложения определенного интеграла п.1 Вычисление площади плоской фигуры
- •П.2 Площадь криволинейного сектора
- •П.3 Вычисление объемов тел
- •П.4 Вычисление длины дуги кривой
- •П.5 Вычисление площади поверхности вращения
- •§ 7 Несобственные интегралы п.1 Определения несобственных интегралов
- •П.2 Свойства несобственных интегралов
- •П.3 Признаки сходимости несобственных интегралов
- •П.4 Абсолютно и условно сходящиеся интегралы
- •П.5 Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов
П.4 Достаточное условие интегрируемости функции
Пусть функция определена на отрезке и ограничена на нем. Возьмем какое-нибудь разбиение Т отрезка точками . Обозначим
, ,
, .
Числа и называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции при заданном разбиении Т отрезка .
Очевидно, при любом выборе отмеченных точек .
Критерий интегрируемости функции Для того, чтобы функция , определенная на отрезке , была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была ограничена на этом отрезке и удовлетворяла условию:
,
т.е. при .
Существует другая формулировка критерия интегрируемости.
Теорема Ограниченная функция интегрируема на отрезке тогда, и только тогда, когда существуют и равны пределы:
и .
При этом общее значение этих пределов равно значению интеграла Римана, т.е. .
П.5 Классы интегрируемых функций
Теорема 1 Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Так как непрерывна на отрезке, то (по теореме Кантора) она равномерно непрерывна на нем, т.е.
.
Возьмем произвольное разбиение с мелкостью . Тогда
.
Значит, интегрируема на отрезке ■
Теорема 2 Если функция ограничена на отрезке и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то интегрируема на отрезке .
Теорема 3 Если функция определена на отрезке и монотонна на нем, то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Пусть, например, функция возрастает на отрезке , тогда . Но отсюда следует, что ограничена на .
Рассмотрим произвольное разбиение Т отрезка .
Так как возрастает, то для
, .
Тогда
.
Получили, что при . А это значит, что интегрируема на отрезке ■
§ 4 Свойства определенного интеграла п.1 Другая формулировка критерия интегрируемости
В параграфе 3 был сформулирован критерий интегрируемости функции:
интегрируема на отрезке ограничена на и выполняется условие: при .
Обозначим . Величину называют колебанием функции на отрезке . Тогда критерий интегрируемости запишется в виде:
интегрируема на отрезке ограничена на и выполняется условие: при .
Очевидно, .
Далее будем рассматривать только ограниченные функции.
П.2 Свойства, связанные с операциями над функциями
Свойство 1 Если функции и интегрируемы на отрезке , то R функция интегрируема на отрезке и выполняется равенство:
.
Доказательство. Составим интегральные суммы для функций , , при заданном разбиении отрезка и зафиксируем отмеченные точки . Тогда имеет место равенство:
.
Перейдем к пределу при . Так как функции и интегрируемы на отрезке , то правая часть имеет предел, равный . Тогда и левая часть имеет такой же предел ■
Свойство 2 Если функции и интегрируемы на отрезке , то функция тоже интегрируема на отрезке .
Доказательство. Если и интегрируемы на отрезке , то они ограничены на нем, т.е. R : и . Значит, ограничена на .
Рассмотрим . Тогда
.
Тогда .
Умножим последнее равенство на и просуммируем по , получим .
При правая часть стремится к нулю, значит, и левая стремится к нулю. Значит, интегрируема на отрезке ■