§4. «Построение уравнения регрессии на главных компонентах»

Это уравнение строится по данным вектора значений результативного показателя y_i и матрицы значений нормированных главных компонент. Матрица нормированных значений главных компонент определяется по формуле: , где X* – матрица нормированных значений исходных показателей размерности 44×5, а А – матрица факторных нагрузок размерности 5×5, воспользовавшись пакетом Excel и командой Описательные из блока команд Описательные статистики пакета SPSS, с помощью которой можно провести Z-стандартизацию для отобранных переменных. Результаты представим в Таблице 3.

Таблица 3 «Нормированные значения главных компонент Z_i и

результирующих переменныхY_i»

Y1	Y2	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5
27240	35007	-0,748	0,316	-0,528	0,560	1,122
47888	530587	-0,302	-0,051	-0,589	-0,755	0,248
85651	196285	0,246	-0,171	-0,567	-1,552	-0,784
58857	1132825	0,037	0,169	-0,161	-2,813	1,488
11114	38375	-1,027	0,318	-0,379	0,192	0,147
83633	331093	-0,943	0,099	-1,020	0,234	0,364
19929	3458	-0,919	-0,039	-0,333	0,241	0,694
38247	90163	-0,771	-0,575	-0,436	-0,374	-1,733
35991	254169	-0,533	-0,424	-0,446	0,382	0,983
67514	220309	-0,198	0,279	-0,307	-0,535	-0,291
61814	488633	-0,450	0,421	-0,218	0,043	-0,689
108360	904021	-0,651	-1,484	0,421	-0,734	-0,806
66002	589292	-0,337	-2,019	3,449	0,435	-1,025
55482	69157	-0,649	0,415	-0,931	0,459	-0,399
193246	1247142	-0,025	0,187	-0,895	-0,955	-0,197
37001	378157	-1,094	0,334	-0,004	-0,284	-0,090
12878	23229	-1,176	-0,245	-0,553	-0,202	-0,518
41312	62264	-0,642	0,616	1,030	-0,574	-0,215
358014	579516	1,840	-0,238	-1,388	1,602	-3,365
78507	100145	0,671	-0,741	-1,415	2,277	2,952
72847	225420	0,549	-0,322	-0,521	1,017	1,568
166077	742020	1,412	0,029	-1,326	-0,563	-0,215
139743	169248	1,531	-1,748	0,775	1,484	0,503
267990	2240308	2,120	-1,132	0,318	0,897	0,281
41309	86494	-0,279	0,458	1,720	1,120	-0,506
41572	46245	-0,694	1,715	1,044	0,775	0,791
134469	345587	1,278	2,035	1,370	-0,906	1,059
88756	545639	-0,176	-1,276	0,638	1,007	-0,103
46675	34256	-0,603	-0,049	-0,261	-0,494	0,253
109974	1053947	2,742	0,940	0,468	-1,917	0,573
62118	197434	0,230	-0,546	-0,919	0,563	-0,259
33358	40217	-1,083	-0,398	-0,818	-0,142	-0,114
138108	2557635	1,839	0,257	-1,517	-0,585	-1,120
13078	31320	-1,343	-0,445	-0,829	-0,479	-0,378
43641	79264	-0,168	3,283	1,002	1,276	-1,358
39794	48549	-0,911	0,847	0,518	0,537	0,809
246351	218085	1,294	-0,327	0,778	-0,236	0,568
105395	344609	0,535	1,787	0,766	0,523	-0,930
109434	606783	0,011	1,218	-0,241	1,455	0,559
60027	489382	0,312	-0,825	0,956	0,228	0,106
77131	226204	0,218	-0,955	1,816	-1,645	0,587
351238	1117707	-0,687	-0,227	-0,347	-0,458	0,126
138278	80716	0,621	-0,322	-0,539	-0,861	-0,067
99700	212147	-1,075	-1,162	0,418	-0,245	-0,619

Таблица 4 «Парные коэффициенты корреляции»

Корреляции
		y1	y2	z1	z2	z3	z4	z5
y1	Корреляция Пирсона	1	,529**	,588**	-,144	-,117	,051	-,237
	Знч.(2-сторон)		,000	,000	,352	,448	,742	,122
	N	44	44	44	44	44	44	44
y2	Корреляция Пирсона	,529**	1	,531**	-,120	-,123	-,217	-,112
	Знч.(2-сторон)	,000		,000	,437	,425	,156	,470
	N	44	44	44	44	44	44	44
z1	Корреляция Пирсона	,588**	,531**	1	,000	,000	,000	,000
	Знч.(2-сторон)	,000	,000		,999	,999	,999	,998
	N	44	44	44	44	44	44	44
z2	Корреляция Пирсона	-,144	-,120	,000	1	,000	,001	,001
	Знч.(2-сторон)	,352	,437	,999		,999	,997	,994
	N	44	44	44	44	44	44	44
z3	Корреляция Пирсона	-,117	-,123	,000	,000	1	,000	,000
	Знч.(2-сторон)	,448	,425	,999	,999		,999	,998
	N	44	44	44	44	44	44	44
z4	Корреляция Пирсона	,051	-,217	,000	,001	,000	1	-,002
	Знч.(2-сторон)	,742	,156	,999	,997	,999		,991
	N	44	44	44	44	44	44	44
z5	Корреляция Пирсона	-,237	-,112	,000	,001	,000	-,002	1
	Знч.(2-сторон)	,122	,470	,998	,994	,998	,991
	N	44	44	44	44	44	44	44
**. Корреляция значима на уровне 0.01 (2-сторон.).

Матрица парных коэффициентов корреляции (Таблица 4) демонстрирует некоррелированность главных компонент и тесноту их связи с результирующими переменными Y_i. Для уровня значимости α=0,01 и числа степеней свободы ν=42 t_кр=2,698, наблюдаемые значения t_z1y1=4,711, t_z1y2=4,061 превосходят t_кр → парные коэффициенты корреляции ρ значимы, между первой главной компонентой и результирующими показателями y₁ и y₂ существует средняя положительная взаимосвязь. Можно предположить, что только первая главная компонента войдет в обе регрессионные модели.

Расчет регрессионных уравнений осуществим при помощи метод пошагового исключения переменных.

1) Инвестиции в основной капитал (y₁)

Для уровня значимости α=0,06 уравнение регрессии имеет вид:

ŷ₁=93537,446+47677,327z₁-19199,140z₅

(4,867) (-1,960)

Коэффициент детерминации R²=0,402 говорит о том, что 40,2% дисперсии случайной величины y₁ (объема инвестиций в основной капитал) обусловлено вариацией двух главных компонент z₁ и z₅. Соответственно, 59,8% дисперсии y₁ определяется остаточными факторами, не рассматриваемыми в данной регрессионной модели.

F_набл.=13,764, значение F-статистики для уровня значимости α=0,06 и числа степеней свободы ν₁=2 и ν₂=44-2-1=41 F_кр=3,016. Так как наблюдаемое значение F-статистики больше критического значения, то на уровне значимости α=0,06 уравнение регрессии значимо. Наблюдаемые значения t-статистики приведены под уравнением регрессии, t_кр(α, ν)=t_кр(0,06, 41)=1,934. Так как наблюдаемые значения t-статистики по модулю больше критического значения, то на уровне значимости α=0,06 оба коэффициента регрессии значимы.

Стандартная ошибка оценки (несмещенная оценка остаточного среднего квадратического отклонения σ) Ŝ=64258,441, относительная ошибка прогноза V=68,70%.

Высокое значение относительной ошибки прогноза (должна не превышать 12-15%) свидетельствует о том, что для анализа взаимосвязи между рассматриваемыми показателями использование построенной нами регрессионной модели на главных компонентах нецелесообразно.

Сравним модель, полученную нами в регрессионном анализе, с моделью, построенной в компонентном анализе. Для уравнения регрессии ŷ₁=29911,284+1,750x₁-422,261x₃, построенного в регрессионном анализе: F_набл.=15,094, R²=0,424, V=67,40%.

Как видно, свойства уравнения регрессии на главных компонентах несколько хуже по сравнению с моделью, построенной в регрессионном анализе. Кроме того, модель на главных компонентах трудно интерпретируема, так как в нее входит пятая, не интерпретируемая нами компонента, вклад которой в суммарную дисперсию незначителен и составляет 1,960%. Однако, исключив z₅ из уравнения регрессии, получаем уравнение со значительно худшими аналитическими свойствами.

Следовательно, в качестве регрессионной модели объема инвестиций в основной капитал следует использовать уравнение регрессии, полученное нами в регрессионном анализе.

2) Иностранные инвестиции в экономику Российской Федерации (y₂)

Для уровня значимости α=0,1 уравнение регрессии имеет вид:

ŷ₂=432095,941 +291425,140z₁-119366,120z₄

(4,147) (-1,698)

Коэффициент детерминации R²=0,329 говорит о том, что 32,9% дисперсии случайной величины y₂ (объема иностранных инвестиций в экономику РФ) обусловлено вариацией двух главных компонент z₁ и z₄. Соответственно, 67,1% дисперсии y₂ определяется остаточными факторами, не рассматриваемыми в данной регрессионной модели.

F_набл.=10,040, значение F-статистики для уровня значимости α=0,1 и числа степеней свободы ν₁=2 и ν₂=44-2-1=41 F_кр=2,437. Так как наблюдаемое значение F-статистики больше критического значения, то на уровне значимости α=0,1 уравнение регрессии значимо. Наблюдаемые значения t-статистики приведены под уравнением регрессии, t_кр(α, ν)=t_кр(0,1, 41)=1,683. Так как наблюдаемые значения t-статистики по модулю больше критического значения, то на уровне значимости α=0,1 оба коэффициента регрессии значимы.

Стандартная ошибка оценки (несмещенная оценка остаточного среднего квадратического отклонения σ) Ŝ=461047,739, относительная ошибка прогноза V=106,70%.

Высокое значение относительной ошибки прогноза (должна не превышать 12-15%) свидетельствует о том, что построенная нами регрессионной модели на главных компонентах плохо отражает изучаемое явление.

Сравним модель, полученную нами в регрессионном анализе, с моделью, построенной в компонентном анализе. Для уравнения регрессии ŷ₂=131311,1+5,072x₁-3224,777x₃+0,079x₅, построенного в регрессионном анализе: F_набл.=7,676, R²=0,365, V=105,03%.

Как видно, свойства уравнения регрессии на главных компонентах несколько хуже по сравнению с моделью, построенной в регрессионном анализе. Кроме того, модель на главных компонентах трудно интерпретируема, так как в нее входит четвертая, не интерпретируемая нами компонента, вклад которой в суммарную дисперсию незначителен и составляет 9,389%. Однако, исключив z₄ из уравнения регрессии, получаем уравнение со значительно худшими аналитическими свойствами.

Следовательно, в качестве регрессионной модели объема инвестиций в основной капитал целесообразнее использовать уравнение регрессии, полученное нами в регрессионном анализе.