2.2Приведение уравнений с двумя независимыми переменными к каноническому виду
Рассмотрим уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными:
(2.4)
Указанное уравнение является (в точке или области) уравнением
гиперболического типа, если
(в точке или области);
параболического типа, если
(в точке или области);
эллиптического типа, если
(в точке или области).
Уравнение
называется уравнением характеристик
уравнения (2.4).
Для уравнения гиперболического типа
уравнение характеристик имеет два
различных действительных общих интеграла
т.
е. существует два семейства действительных
характеристик. С помощью замены переменных
дифференциальное уравнение (2.4) приводится
к каноническому виду
Для уравнения параболического типа оба
семейства характеристик совпадают, так
как уравнение характеристик дает лишь
один интеграл
.
В этом случае нужно произвести замену
переменных
,
где
– какая-нибудь функция, для которой
.
После такой замены уравнение (2.4) приводится к каноническому виду
Для уравнения эллиптического типа общие
интегралы уравнения характеристик
имеют вид
,
где
– действительные функции. Тогда с
помощью замены переменных
,
уравнение (2.4) приводится к каноническому
виду
Пример 1. В каждой области, где сохраняется тип уравнения, привести к каноническому виду уравнение
.
Решение. Здесь
,
следовательно, при x = 0, y
0 или y = 0, x
0 – уравнение параболического
типа, канонический вид при этом
соответственно
или
.
При x = 0,
y = 0
уравнение вырождается. В случае же, если
y 0,
x 0,
уравнение – гиперболического типа.
Составляем уравнение характеристик:
или
Следовательно, имеем два дифференциальных
уравнения
и
,
разделяя в которых переменные и
интегрируя, получим
Откуда находим
– уравнения двух семейств характеристик.
Введем новые переменные
,
тогда
Подставив в
дифференциальное уравнение выражения
для производных, получим:
или после упрощений
т.е. уравнение приведено к каноническому
виду.
2.3Приведение к простейшему виду
Заметим, что
если коэффициенты уравнения (2.4) постоянны,
после приведения этого уравнения к
каноническому виду можно произвести
дальнейшие упрощения уравнения. Так,
вводя новую неизвестную функцию
по формуле
,
подходящим подбором постоянных
и можно добиться,
чтобы коэффициенты при первых производных
в эллиптическом и гиперболическом
случаях, и один из коэффициентов при
первых производных и коэффициент при
самой
в параболическом случае обращались в
ноль.
Пример 2. Привести к каноническому виду и выполнить дальнейшие упрощения уравнения
Решение. Здесь a = 1, b= – 1, c
= 2,
,
т.е. уравнение – эллиптического типа.
Уравнение характеристик имеет вид
.
Отсюда
;
получаем
.
Произведя замену переменных
,
имеем
;
Подставив найденные выражения в дифференциальное уравнение, получим
.
Таким образом, каноническое уравнение имеет следующий вид:
.
Выполним дальнейшее упрощение путем введения новой неизвестной функции по формуле . Тогда
,
,
,
и, следовательно, каноническое уравнение примет вид
Выбирая
,
и сокращая на
,
получим простейший канонический вид
исходного уравнения
.