ЛЕКЦИЯ 2. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ РАБОЧЕГО ТЕЛА И СМЕСИ ГАЗОВ
План
1. Вывод характеристического уравнения.
2. Законы идеальных газов.
3. Уравнение состояние для смеси идеальных газов.
Литература:
1. Теплотехника / Баскаков А. П., Берг В. В., Вит О. К. и др. - М.: Энергоиздат, 1991.- 224 с.
2. Теплотехника / Хазен М. М., Матвеев Г Д., Грицевский М. Е. и др.- М.: Высш. школа,1981.- 480 с.
3. Швец И.Т., Толубинский В.И., Алабовский А.Е. и др. Теплотехника - К.: "Вища школа", Головное изд - во, 1976.- 517 с.
4. Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача. Учебн. Пособие для вузов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1980.- 469 с.
5. Кафаров В.В. Основы массопередачи. Учеб. пособие для вузов.- М.: Высшая школа, 1972.- 494 с.
1. Вывод характеристического уравнения
Рассмотренные нами газовые законы, как известно, справедливы при определенных условиях, а именно: закон Гей - Люссака верен при соблюдении условия р = const, справедливость закона Шарля ограничивается условием V = const, а закон Бойля - Мариотта имеет силу при соблюдении Т = const. Такие процессы, когда остается неизменным какой-либо из перечисленных параметров, встречаются в технике довольно часто. Однако значительно чаще встречаются более важные в практике процессы, течение которых имеет место при переменном значении всех параметров. В этом случае необходимо такое уравнение, которое связывало бы между собой все три параметра (р, и Т). Оказывается, такое уравнение есть. Оно было впервые выведено Клайпероном и обобщено Д. И. Менделеевым.
Пусть имеется 1 кг некоторого рабочего тела (газа), состояние (I) которого определяется параметрами . Требуется перевести это рабочее тело из данного состояния в другое (II), характеризующееся параметрами р2, v2, T2.
Допустим, что p2>p1 тогда, чтобы достигнуть значения р2 , видимо, газ надо сжать. Однако сжатие газа будем производить медленно, чтобы в процессе сжатия температура газа не изменилась (рис.1, состояние III).
Тогда, обращая внимание на состояние I-III, замечаем, что у них общая (неизменяемая) температура . Это обстоятельство позволяет использовать в процессе перехода из состояния I в состояние III закон Бойля - Мариотта, по которому
, (1)
откуда
(2)
Сравнивая состояния III и II, замечаем, что у них общим (неизменным) является р2, что позволяет воспользоваться законом Гей - Люссака, по которому
, (3)
откуда
(4)
Заметим, что переход из состояния III в состояние II возможен (при р2 = const) либо при нагревании (тогда > ), либо при охлаждении (тогда < ) (см. рис. 1). Сравнивая правые части формул (2-2) и (2-4), получим:
(5)
откуда
.
Деля обе части этого уравнения на получим:
(6)
или
(7)
Полученное уравнение называется удельным уравнением состояния (или уравнением Клапейрона), и является справедливым для 1 кг рабочего тела (газа), поскольку значение объема, входящего в него, соответствует удельному объему (об этом напоминает единица, стоящая в правой части этого равенства). Это уравнение позволяет производить расчеты при переменном значении параметров состояния , а связывает их между собой величина R, которая называется удельной (поскольку речь идет об 1 кг рабочего тела) газовой постоянной. Если оперировать не единицей, а произвольной массой G кг, то в правую часть выражения (7) следует вместо 1 поставить G, а в левую - вместо величину V = G (где V - объем произвольной массы G газа), т. е.
pV = GRT.
Если же взять количество рассматриваемого газа, равное его молекулярной массе , или, иначе говоря, одну килограмм-молекулу его, то объем этого количества газа будет соответствовать объему моля этого газа, и тогда
. (8)
Полученное выражение называется универсальным характеристическим уравнением.
При практическом использовании уравнения pV = GRT следует всегда помнить о соответствии между массой вещества и его объемом.
Физический смысл газовой постоянной вытекает из рассмотрения формулы (6). Внося размерности в эту формулу, получим
(или Дж/кг град)
Величины кГ и кг не сокращаются, так как их природа разная: кГу стоящий в числителе, - силовая функция (вообще говоря, величина переменная в зависимости от того, где именно, в какой географической точке происходит измерение); кг, стоящий в знаменателе, - массовая функция (величина неизменная). Для примера скажем, что сила тяжести (вес), измеренная в разных точках земли, будет в принципе разной, а масса вещества в этих же точках остается неизменной.
Таким образом, получается, что газовая постоянная рабочего тела физически понимается как механическая работа (кГ×м), совершенная 1 кг газа при нагревании его на один градус (при постоянном давлении). Отметим также, что поскольку разность температур по шкале Кельвина и стоградусной одна и та же, то безразлично, к какой температуре относить эту работу газа. Иначе говоря, величина R характеризует работу газа и в значительной мере облегчает оценку и исследование процессов преобразования теплоты в работу.
Если использовать формулу (6) для нормальных условий, то получим
(10)
Из уравнения (10) вытекает, что для двух газов можно написать
(11)
Пользуясь уравнением (8) для нормальных условий, будем иметь
(12)
откуда
(13)
Полученная константа называется универсальной газовой постоянной.
Для двух газов можно написать
откуда
(14)
Так, например:
для кислорода = = 260 Дж/(кг К);
для азота = =295,5 Дж/(кг К);
для метана = = 519,8 Дж/(кг К);
для водорода = = 4124,7 Дж/(кг К).
Суммируя все ранее сказанное, можно написать «формулу цепочки»
(15)
где - теплоемкости газов.
Приведение объема газа к нормальным условиям и подсчет плотности р в зависимости от р и Т графически легко осуществляются с помощью номограмм.