III. Многомерные случайные величины

В предыдущих главах рассматривались так называемые скалярные (одномерные) сл. величины. При решении практических задач приходится рассматривать совместно пары сл. величин ( ), тройки сл. величин ( ) и т.д., которые называются сл. векторами или n – мерными сл. величинами, . Совместное изучение скалярных сл. величин позволяет получить информацию об их зависимости.

3.1. Совместная (n–мерная) функция распределения

Дадим формальное определение многомерных сл. величин. Пусть – некоторое вероятностное пространство и – случайные величины, заданные на нем. Каждому значению они ставят в соответствие вектор

Определение. Отображение задаваемое совокупностью случайных величин , называется случайным вектором или многомерной случайной величиной или n – мерной случайной величиной.

Если учесть, что все , измеримые функции, случайным вектором ξ следовало бы назвать отображение , где – борелевская σ – алгебра в . Необходимым и достаточным условием измеримости случайного вектора ξ является выполнение условия:

Справедливо утверждение [1]: n – мерная случайная величина ξ измерима тогда и только тогда, когда все функции являются F– измеримыми функциями.

Основной характеристикой случайного вектора ξ является совместная или n-мерная функция распределения:

Если положить n=2, то двумерная функция распределения есть ничто иное, как вероятность попадания случайной точки с координатами в область , иначе говоря, в угол с вершиной в точке .

Далее везде, где упрощение обозначения не вызывает недоразумений, будем вместо писать .

Свойства совместной функции распределения случайного вектора ξ аналогичны свойствам функции распределения скалярной случайной величины, но есть и специальные свойства, вызванные тем фактом, что ξ – вектор. Перечислим некоторые из них:

1. .

2. – функция неубывающая по каждому из своих аргументов.

3. Функция – непрерывная слева функция по каждому из своих аргументов.

4.

Результат следует из того, что событие и пересечение любого события A вида с невозможным событием есть событие невозможное.

Эти четыре свойства аналогичны свойствам одномерной функции распределения.

5. для всего множества перестановок чисел 1, 2, …, n.

6. Если m < n, то,

Рассмотрим , то есть m = n–1. Событие – достоверное событие, произведение события А и достоверного события есть событие А, поэтому

Аналогичные рассуждения можно провести для любого 1<m<n. Если m=1, то среди всего множества переменных отличными от ∞ будет только одна из них, . Тогда , представляет собой функцию распределения сл. величины . Это так называемые маргинальные (частные) распределения случайных величин , .

Функция называется совместным маргинальным распределением случайных величин .

Если m=n, то . Иначе говоря, .

Свойства 5 и 6 называют свойством согласованности совместной функции распределения случайного вектора .

7. Справедливо соотношение:

. Формула определяет вероятность события .

На практике мы ограничимся рассмотрением двумерных сл. величин. Для этого случая (n=2) вышеперечисленные свойства функции распределения примут вид:

1. ;

2. – неубывающая функция по каждому из своих аргументов;

3. – непрерывная слева функция по каждому из своих аргументов;

4.

5. ;

6.

7.

Эту формулу можно вывести, исходя из представления события в виде алгебраической суммы событий: .