ОГЛАВЛЕНИЕ

I. Случайные события

1.1. Предмет теории вероятностей

1.2. Пространство элементарных исходов

1.3. События, действия над ними

1.4. Свойства операций

1.5. Алгебра и σ-алгебра событий

1.6. Вероятность событий

16.1. Классическое определение вероятностей

1.6.2. Элементы комбинаторики в теории вероятностей

1.6.3. Урновая схема

1.6.4. Геометрическая вероятность

1.6.5. Статистическое определение вероятности

1.6.6. Аксиоматическое определение вероятности

1.7. Условная вероятность. Независимость событий

1.8. Формула полной вероятности

1.9. Формула Байеса

1.10. Некоторые примеры вычисления вероятностей

1.11. Схема Бернулли

1.12. Формула Пуассона

1.13. Формула Муавра – Лапласа

Контрольные вопросы

Задачи

II. Случайные величины и их распределения

2.1. Случайная величина

2.2. Дискретные случайные величины

2.3. Непрерывные случайные величины

2.4. Преобразование случайных величин

2.5. Математическое ожидание случайных величин

2.6. Дисперсия случайных величин

2.7. Моменты случайных величин. Другие характеристики случайных величин

2.8. Характеристические функции

2.9. Производящие функции

Контрольные вопросы

Задачи

III. Многомерные случайные величины

3.1. Совместная (n – мерная) функция распределения

3.2. Дискретные двумерные случайные величины

3.3. Непрерывные n-мерные случайные величины

3.4. Условные распределения

3.5. Преобразование векторных случайных величин

3.6. Математическое ожидание векторных случайных величин

3.7. Моменты векторных случайных величин

3.8. Дисперсия векторной случайной величины

3.9. Условное математическое ожидание. Кривые регрессии

3.10. Условная дисперсия

3.11. Ковариация случайных величин

3.12. Коэффициент корреляции

3.13. Характеристические функции векторных случайных величин

Контрольные вопросы

Задачи

IV. Предельные теоремы теории вероятностей

4.1. Последовательности независимых событий

4.2. Последовательности независимых величин

4.3. Неравенство Чебышева

4.4. Типы сходимости

4.5. Закон больших чисел

4.6. Усиленный закон больших чисел

4.7. Центральная предельная теорема

Контрольные вопросы

Задачи

Ответы

Список использованной литературы

I. Случайные события

1.1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей изучает математические модели случайных экспериментов. Основным понятием в теории вероятностей является событие. Это такое же неопределяемое понятие как время в физике, число в математике. В научных исследованиях, при изучении законов природы события разделяются на условия и исходы эксперимента. Условия – это события, известные экспериментатору, которые он осуществляет тем или иным способом. Исходы – это события, которые могут произойти в результате эксперимента. Совокупность условий и исходов и есть эксперимент (испытание, опыт).

В течение длительного времени человек изучал детерминированные эксперименты, в которых условия (причины) полностью определяют исход (следствие).

Случайными экспериментами (сл. экспериментами) называются такие, результаты которых неоднозначно определяются начальными условиями, то есть исходы сл. эксперимента заранее нельзя предсказать. Исходы такого испытания называются случайными событиями (сл. событиями).

Везде далее случайный эксперимент и случайное событие иногда будем называть просто экспериментом и событием (не используя прилагательного «случайный»).

Приведем примеры некоторых экспериментов (опытов).

Первый опыт: при подбрасывании симметричной однородной игральной кости (условия) трудно предсказать заранее (априори) какое число очков окажется на верхней грани. Возможны шесть исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков.

Второй опыт: подбрасывается симметричная однородная монета (условия). В этом опыте также невозможно предсказать заранее каким результатом эксперимент закончится: монета упадет гербом вверх – событие Г или «решкой » вверх – событие Р.

Третий опыт: подбрасываются две одинаковые монеты (условия). Исходами здесь будут события: обе монеты упали одной стороной вверх – события (Г, Г) или (Р, Р); первая монета упала гербом вверх, вторая – «решкой» – событие (Г, Р); первая монета упала вверх «решкой», а вторая – гербом – событие (Р, Г).

Теория вероятностей (ТВ) изучает не всякие эксперименты с непредсказуемыми результатами, а только такие, которые дополнительно удовлетворяют еще двум условиям: 1) возможности повторения испытания, хотя бы теоретически, бесконечное число раз; 2) невозможности предсказания результата не только в первом испытании, но и во всех последующих.

Теория вероятности изучает события не сами по себе, а закономерности, которые возникают при многократном воспроизведении случайных экспериментов. В сочетании противоположных понятий закономерность – случайность состоит особенность науки, именуемой теорией вероятностей.

Первые работы, в которых зарождались основные понятия ТВ, представляют собой попытки создания теории азартных игр – конец 16, начало 17 веков (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и т.д.). Эти задачи не могли быть решены известными в то время математическими методами. Можно считать, что как наука ТВ возникла из чисто практических потребностей.

Следующий этап развития ТВ связан с именем Я.Бернулли. Доказанная им теорема (1713г.), получившая впоследствии название «закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных результатов.

Успехи и потребности развивающихся естественных наук, особенно физики, послужили толчком к дальнейшему развитию ТВ. Возникла теория ошибок, связанная с именами Гаусса, Пуассона. Ошибки, как правило, случайны и не подвергаются индивидуальному учету, однако проявляют некоторую устойчивость.

Современный период в ТВ начинается с установления аксиоматики в этой науке. В 1933 г. вышла в свет книга советского математика А. Н. Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей». Предложенная в ней аксиоматика получила всемирную поддержку и позволила не только охватить все имеющиеся разделы ТВ, но и образовала тот фундамент, на котором выросло логически стройное здание этой науки. Дальнейшее развитие ТВ связано с именами математиков С. Н. Бернштейна, В. И. Романовского, А. Я. Хинчина, Б. В. Гнеденко, Н. В.Смирнова и др.

Роль ТВ в различных отраслях знаний трудно переоценить; ТВ служит основой математической статистики, один из ее разделов – случайные процессы – быстро развивается как в теоретическом, так и в прикладном аспекте.