3.5.4. Работа силы тяжести и силы упругости
Определим
работу силы тяжести точки
на некотором ее перемещении
(рис. 25). Считая это перемещение малым
по сравнению с радиусом Земли, можно
допустить, что модуль и направление
силы тяжести точки
являются постоянными. Выберем систему
отсчета
,
направив ось
вверх по вертикали.
И
спользуя
формулу (93) и учитывая, что проекции силы
тяжести на оси координат равны
,
получим
выражение для элементарной работы силы
тяжести:
.
Работа силы тяжести точки на конечном перемещении будет определяться определенным интегралом:
.
Здесь
- разность высот точки
в начальном и конечном положениях. Если
(точка опускается), то работа силы тяжести
положительна, если
(точка поднимается), то работа отрицательна.
Окончательно получим:
.
(100)
Таким образом, работа силы тяжести материальной точки равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки (при опускании точки работа положительна, при подъеме – отрицательна).
И
з
формулы (100) следует, что работа силы
тяжести не зависит от формы траектории
и закона движения точки по траектории.
На замкнутой траектории эта работа
равна нулю, так как тогда
.
В случае механической системы (в частности для твердого тела) работа силы тяжести определяется по формуле:
,
(101)
где
- вертикальное перемещение а
- масса центра масс системы (твердого
тела).
Определим
теперь работу силы упругости
,
действующую на материальную точку
(рис 26). Эта сила всегда направлена к
положению равновесия
,
по модулю пропорциональна расстоянию
точки от этого положения и определяется
выражением:
,
(102)
где - радиус-вектор точки относительно точки , - коэффициент жесткости упругого элемента, например, пружины.
Используя формулу (92), находим элементарную работу силы упругости :
.
Легко
проверить, что 
.
(103)
В самом деле, имеем:
.
Тогда элементарная работа силы упругости равна:
,
или окончательно
.
(104)
Таким
образом, работа силы упругости
пропорциональна разности квадратов
начального и конечного отклонений точки
от положения равновесия. Подобно работе
силы тяжести, работа силы упругости не
зависит от вида траектории и закона
движения точки по траектории. На замкнутой
траектории эта работа равна нулю, так
как тогда
.
Если
работа производится пружиной, то величина
в формуле (104) заменяется величиной
деформации пружины в начальном и конечном
положениях.
3.5.5. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси
Рассмотрим твердое тело, вращающееся с угловой скоростью вокруг неподвижной оси под действием системы внешних сил (рис. 27). Пусть одна из сил приложена в точке тела , положение которой определяется радиус-вектором .
Из
кинематики известно, что скорость точки
вращающегося тела может быть выражена
формулой
.
Используя правило векторной алгебры,
найдем мощность приложенных к телу сил:
,
и
ли
,
(105)
где
- проекция главного момента
системы приложенных к телу сил на ось
,
то есть главный момент системы сил
относительно оси
.
Величина носит название вращающего момента. Таким образом, мощность системы сил, приложенных к вращающемуся вокруг неподвижной оси твердому телу, равна произведению угловой скорости тела и вращающего момента.
Определим
теперь работу этой системы сил.
Предположим, что под действием приложенных
сил тело повернулось за время
на угол
,
при этом точка тела
перешла из положения
в положение
.
Применяя полученные выше формулы,
найдем:
.
Итак, работа равна
.
(106)
Если
вращающий момент постоянен
,
то работа равна произведению момента
на угол
поворота тела, то есть
.
(107)