8.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотноше-ние, связывающее функцию, ее первую производную и независимую пере-менную, т.е. соотношение вида:
.
(8.1)
Если такое соотношение можно преобразовать к виду
(8.2)
то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.
Преобразуем такое выражение далее:
Функцию
f(x,y)
представим в виде:
тогда при подстановке в полученное выше
уравнение имеем:
,
(8.3)
это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.
Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.
Интегрирование
дифференциального уравнения в общем
случае приводит к бесконечному множеству
решений, которые отличаются друг от
друга постоянной величиной. Например,
решениями уравнения
являются функции
,
,
и вообще
,
с – const.
Последнее выражение есть общее
решение
исходного дифференциального уравнения.
Таким образом, чтобы решение
дифференциального уравнения было вполне
определённым, необходимо, чтобы это
решение удовлетворяло условиям
однозначности. Условие того, что при
искомая функция
(решение
дифференциального уравнения) должна
быть равна заданному числу
называется начальным
условием.
Начальное условие для дифференциального
уравнения первого порядка записывается
в виде
или
.
(8.4)
Задача, состоящая в определении решения дифференциального уравнения первого порядка (8.1) и удовлетворяющего заданному начальному условию (8.4), называется задачей Коши.
Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
.
(8.5)
Такое уравнение можно представить также в виде:
или
если
Перейдем
к новым обозначениям
Получаем:
или
После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.
Примеры. 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
Разделим переменные
или
,
тогда
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям
и
- это и есть
общий интеграл исходного дифференциального уравнения. Чтобы проверить правильность полученного результата продифференцируем его по переменной х.
или
, что подтверждает верность решения.
2.
Найти решение дифференциального
уравнения
при условии у(2) = 1 (задача Коши).
Имеем
,
или
откуда
и
при
у(2) = 1 получаем
Итого:
или
- частное решение;
Проверка:
, итого
.
3.
Решить уравнение
Имеем
,
,
или
.
Общее решение имеет вид
.
4.
Решить уравнение
Имеем
5.
Решить уравнение
при
условии у(1) = 0 (задача Коши).
Имеем
,
Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям
.
.
Если
у(1) = 0, то
Таким
образом, решение задачи Коши есть
.
6. Решить
уравнение
.
.
Упростим данное уравнение
или
Проводя интегрирование, получаем общий интеграл:
.
7.
Решить уравнение
Преобразуем
заданное уравнение:
,
или
,
Получили
общий интеграл данного дифференциального
уравнения. Если из этого соотношения
выразить искомую функцию у, то получим
общее решение.
Однородные уравнение первого уравнения
Дифференциальное
уравнение вида
называется однородным
дифференциальным уравнением
первого порядка, если функция f(x,y)
может быть представлена в виде
.
(8.6)
В
этом случае вводится новая переменная
или
,
откуда
и исходное
дифференциальное уравнение преобразуется
к виду
Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.
Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и, найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.
Пример.
Решить уравнение
.
Введем вспомогательную функцию u.
.
Отметим, что
введенная нами функция u
всегда положительна, т.к. в противном
случае теряет смысл исходное
дифференциальное уравнение, содержащее
.
Подставляем в исходное уравнение:
Разделяем
переменные:
Интегрируя,
получаем:
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:
Линейные уравнения
Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:
(8.7)
при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.
P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
Метод Бернулли.
Суть
метода заключается в том, что искомая
функция представляется в виде произведения
двух функций
.
При
этом очевидно, что
.
Подставляя
в
исходное уравнение, получаем:
или
.
Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.
Выберем
функцию u
так, чтобы
выполнялось условие
.
Таким образом, можно получить функцию u, проинтегрировав, полученное дифференциальное уравнение:
Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное вы-ражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.
Интегрируя, можем найти функцию v:
,
.
Т.е.
была получена вторая составляющая
произведения
,
которое и определяет искомую функцию.
Подставляя полученные значения, получаем:
Метод Лагранжа
Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.
Ищется решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.
Далее находится решение получившегося однородного дифференци-ального уравнения:
.
Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.
Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:
