6.4. Интегрирование тригонометрических функций

Большинство интегралов от тригонометрических функций часто нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые основные типы функций, которые могут быть проинтегрированы.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла вида , где R – рациональная функция от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример.

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой бывает весьма громоздким.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств подынтегральной функции. Иногда удобны следующие правила:

1) если функция R является нечетной относительно cosx. В этом случае удобно воспользоваться подстановкой sin x = t

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку sin x = t .

Пример.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

2) если функция R является нечетной относительно sinx. В этом случае применяется подстановка cos x = t

Пример.

=

= = =

3) если функция R четная относительно sinx и cosx. В этом случае интеграл рационализуется подстановкой tgx = t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид

Пример.

Интегралы типа

Для нахождения таких интегралов применяются следующие подстанови:

1. sin x = t , если n – целое положительное нечётное число;

2. cos x = t , если m – целое положительное нечётное число;

3. tg x = t , если m + n – чётное отрицательное целое число;

4. если m и n – целые чётные неотрицательные числа, то для понижения порядка используются формулы ,

, .

Пример.

Пример.

Интегралы типа , ,

вычисляются с помощью формул

,

,

.

Пример.

Пример.

6.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая преобразовывает эту функцию к рациональной форме, интеграл от которой может быть найден.

Интеграл вида , где n- натуральное число.

С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда

Пример.

=

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение. Проиллюстрируем это на примере.

Пример.

=

Интегралы вида .

Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

1. 

2. 

3. 

Возможны три спопммиммпиморорорамоиьсмтси чс с оота прьоьриоириттттрипкеаенкаппкпсоба интегрирования таких функций.