- •2.4. Системы случайных величин
- •2.4.1. Общий случай
- •2.4.2. Функция распределения системы двух св
- •2.4.3. Совместное распределение вероятностей системы двух дсв.
- •2.4.4. Плотность распределения системы двух нсв
- •2.4.5. Математические ожидания и дисперсии.
- •2.4.6. Показатели статистической зависимости двух св
- •1. Ковариация (корреляционный момент):
- •2. Коэффициент корреляции:
- •3. Коэффициенты детерминации и корреляционные отношения
- •2.4.7. Двумерное нормальное распределение.
- •2.4.8. Показатели статистической зависимости св. Общий случай
- •Множественный коэффициент корреляции.
- •Частный коэффициент корреляции. Рассмотрим теперь совокупность случайных величин
- •2.5. Функции многих случайных величин.
- •2.5.1. Сумма двух случайных величин.
- •2.5.2. Среднее арифметическое n случайных величин.
- •2.5.3. Центральная предельная теорема Ляпунова.
- •2.5.4. Распределение Пирсона
- •Распределение Стьюдента.
- •2.5.6. Распределение Фишера.
Частный коэффициент корреляции. Рассмотрим теперь совокупность случайных величин
Zij=a0ij+ , ,
где коэффициенты аlij определяются из условия минимума математического ожидания:
М[(Xi – Zij)2] →
Случайная величина Zij называется наилучшим линейным приближением случайной величины Xi всеми остальными случайными величинами Xl, за исключением Xi и Xj. Очевидно, что в общем случае Zij ≠ Zji .
Обозначим = Xi – Zij , = Xj – Zji . Тогда частными коэффициентами корреляции называются величины:
, ,
Частный коэффициент корреляции характеризует степень линейности связи между СВ Xi , Xj, принадлежащими совокупности СВ , когда исключена линейная часть влияния остальных СВ. Он выражается через элементы корреляционной матрицы R= следующим образом:
,
где Rij – алгебраическое дополнение элемента .
Заметим, что при k=2 , R11= R22=1 и тогда
При k=3 имеем: , , и тогда
Аналогично определяются , . Заметим, что если все =0, то и все =0.
2.5. Функции многих случайных величин.
2.5.1. Сумма двух случайных величин.
Пусть имеется система двух случайных величин X и Y, совместное распределение которых известно. Ставится задача найти распределение случайной величины . В качестве примеров СВ Z можно привести прибыль с двух предприятий; число определенным образом проголосовавших избирателей с двух разных участков; сумму очков на двух игральных костях.
1.Случай двух ДСВ. Какие бы значения ни принимали дискретные СВ (в виде конечной десятичной дроби, с разным шагом), ситуацию почти всегда можно свести к следующему частному случаю. Величины X и Y могут принимать только целые значения, т.е. где . Если изначально они являлись десятичными дробями, то целыми числами их можно сделать умножением на 10k. А отсутствующим значениям между максимумами и минимумами можно приписать нулевые вероятности. Пусть известно совместное распределение вероятностей. Тогда, если пронумеровать строки и столбцы матрицы по правилам: , то вероятность суммы:
Элементы матрицы складываются по одной из диагоналей.
2. Случай двух НСВ. Пусть известна совместная плотность распределения . Тогда плотность распределения суммы:
Если X и Y независимы, т.е. , то
Пример 1. X , Y – независимые, равномерно распределенные СВ:
Найдём плотность распределения случайной величины .
Очевидно, что ,
СВ Z может принимать значения в интервале (c+d; a+b), но не при всех x. За пределами этого интервала . На координатной плоскости (x, z) областью возможных значений величины z является параллелограмм со сторонами x=с; x=a; z=x+d; z=x+b. В формуле для пределами интегрирования будут c и a. Однако ввиду того, что в производится замена y=z-x, при некоторых значениях z функция . Например, если c<d<a, то при z=x+c и любом x будем иметь: . Поэтому вычисление интеграла следует осуществлять по отдельности для различных областей изменения величины z, в каждой из которых пределы интегрирования будут разными, но при всех x и z. Проделаем это для частного случая, когда а+d < b+c. Рассмотрим три различные области изменения величины z и для каждой из них найдём .
c+d ≤ z ≤ a+d. Тогда
а+d ≤ z ≤ b+c. Тогда
3) b+c ≤ z ≤ a+b. Тогда
Такое распределение называется законом Симпсона. На рис.8, 9 изображены графики плотности распределения СВ при с=0, d=0.
рис.8 рис.9
Найти можно иначе, определяя сначала функцию распределения F(z) с помощью формулы геометрической вероятности, знаменателем которой является площадь указанного выше параллелограмма на координатной плоскости (x, z).
Пример 2. Пусть X , Y – система двух нормально распределенных СВ. Выражение для плотности вероятности приведено в п. 2.4.7. Производя в ней замену и интегрируя ее по x, получим: имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией . Это согласуется и с формулами, отражающими свойства математического ожидания и дисперсии (п. 2.1.5).