§ 2 Числовые характеристики случайных величин

Определение 1.

Математическим ожиданием случайной величины называется ее среднее значение, вычисляемое по формулам:

— для дискретной случайной величины;

— для непрерывной случайной величины.

Для встречающихся на практике случайных величин, записанный несобственный интеграл сходится.

Свойства математического ожидания

1. , где С — постоянная величина.

2. .

3. , если и независимые случайные величины.

4. .

Определение 2.

Разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием называется отклонением случайной величины , т.е. по определению отклонение — это

.

Математическое ожидание отклонения равно нулю:

Определение 3.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения:

.

Дисперсия вычисляется по формулам:

— для дискретной случайной величины;

— для непрерывной, случайной величины.

Свойства дисперсии

1. , где С — постоянная величина.

2. .

3. ,

если и — независимые случайные величины.

Определение 4.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из дисперсии:

Пример 4.1.

Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго — 0,8, для третьего — 0,75 и четвертого — 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа, если станки работают независимо.

Решение.

Здесь ; ;

; ;

; ;

; .

Случайная величина может принимать значения

; ; ; ; .

Соответствующие вероятности будут:

;

.

;

.

Закон распределения имеет вид:

x	0	1	2	3	4
	0,0015	0,0265	0,1675	0,4265	0,3780

Для проверки правильности вычислений рекомендуется убедиться в том, что сумма всех вероятностей равна единице:

.

.

.

.

Пример 4.2.

Дана функция распределения случайной величины :

Найти — плотность распределения случайной величины , — математическое ожидание и — дисперсию. Построить графики и .

Решение.

График распределения показан на рис.4.2.

1

2 4 х

Рис.4.2.

Плотность распределения найдем из выражения:

Е е график

f(x)

1/2

2 4 х

Рис.4.3

Следует, что случайная величина имеет равномерное распределение на участке от 2 до 4, следовательно ; , откуда

.

Эти же результаты можно получить по формуле для нахождения математического ожидания для непрерывных случайных величин

ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ

1. Понятие случайной величины.

2. Виды случайных величин.

3. Способы задания дискретной случайной величины.

4. Интегральная и дифференциальная функции распределения случайной величины: определения, свойства, графики.

5. Числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение) их свойства, формулы для вычисления.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Среди 10 лотерейных билетов имеется 4 билета с выигрышем. Наудачу покупают 2 билета. Найти закон распределения вероятностей числа выигрышных билетов среди купленных. Найти и построить функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2. В партии из 25 кожаных курток 5 имеют скрытый дефект. Покупают 3 куртки. Найти закон распределения числа дефектных курток среди купленных. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X

Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

4. Случайная величина X задана плотностью вероятности f (x) = x/2 в

интервале (0; 2), вне этого интервала f (x) = 0. Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.