- •Методическая разработка
- •«Основные понятия математического анализа»
- •1. Научно-методическое обоснование темы:
- •2. Краткая теория:
- •1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •Производная сложной функции
- •3. Производные высших порядков
- •4. Дифференциал функции
- •5. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях
- •6. Понятие неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •7. Методы интегрирования
- •8.Задача о нахождении площади криволинейной трапеции
- •9. Задача о вычислении работы переменной силы
- •Основные свойства определенного интеграла
- •10. Основные методы вычисления определенных интегралов Метод разложения (непосредственного интегрирования)
- •Метод замены переменной (метод подстановки)
- •Метод интегрирования по частям
- •11. Некоторые приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур
- •Работа переменной силы
- •Нахождение средних значений функций
- •12. Понятие дифференциального уравнения
- •13. Уравнения с разделяющимися переменными
- •14. Задачи на составление дифференциальных уравнений
- •3. Цель деятельности студентов на занятии:
- •4.Содержание обучения:
- •5.Перечень вопросов для проверки исходного уровня знаний:
- •6. Перечень вопросов для проверки конечного уровня знаний:
- •7. Хронокарта учебного занятия:
- •8. Перечень учебной литературы к занятию:
14. Задачи на составление дифференциальных уравнений
Задача о скорости размножения бактерий. Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий, в течение трех часов их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени.
Решение. Пусть N – количество бактерий в момент времени t. Тогда согласно условию
, (36)
где k - коэффициент пропорциональности. Уравнение (36) представляет собой уравнение с разделяющимися переменными и его решение имеет вид:
, (37)
Из начального условия известно, что . Следовательно,
и .
Из дополнительного условия . Тогда
, , .
Таким образом, для искомой функции получаем:
, (38)
Задача об увеличении количества фермента. В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна его начальному количеству x. Первоначальное количество фермента а в течение часа удвоилось. Найти зависимость x(t).
Решение. По условию задачи дифференциальное уравнение процесса имеет вид
, (39)
где k – коэффициент пропорциональности. Общее решение уравнения (39) (уравнение с разделяющимися переменными) имеет вид:
, (40)
Постоянную С найдем из начального условия :
.
Тогда
, (41)
Известно также, что . Значит
, отсюда и окончательно имеем
, (42)
3. Цель деятельности студентов на занятии:
Студент должен знать:
Определения производной и дифференциала функции.
Физический и геометрический смыслы производной.
Таблицу производных основных элементарных функций.
Правила дифференцирования.
Аналитический и геометрический смыслы дифференциала.
Понятия неопределенного и определенного интегралов.
Таблицу основных интегралов.
Основные свойства неопределенного и определенного интегралов.
Основные методы интегрирования.
Определение обыкновенного дифференциального уравнения.
Понятие общего и частного решений дифференциального уравнения.
Определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и алгоритм его решения.
Студент должен уметь:
1.Вычислять производные и дифференциалы функций.
2.Применять дифференциал функции в приближенных вычислениях.
3.Вычислять неопределенные и определенные интегралы различными методами.
4.Вычислять средние значения функций, площади плоских фигур, работу переменной силы.
5.Находить решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.