- •Диффернцирование функции одной переменной.
- •Правила дифференцирования.
- •2. Производная сложной функции.
- •3. Производная функции, заданной неявно.
- •4. Производная функции, заданной параметрически.
- •5. Производная степенно-показательной функции.
- •6. Производные высших порядков.
- •7. Дифференциал функции.
- •7.1 Вычисление дифференциала.
- •7.2 Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •7.3 Дифференциалы высших порядков.
- •8. Правило Лопиталя – Бернулли.
- •8.2 Раскрытие неопределенности типа .
- •8.3 Раскрытие неопределенности типа .
- •8.4 Раскрытие неопределенностей типа .
- •9. Уравнения касательной и нормали.
- •10. Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции.
- •11. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •12. Промежутки выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
- •13. Общая схема исследования функций и построения графиков.
- •13.1 Общая схема исследования и построения графика функции заданной явно.
- •13.2 Общая схема исследования и построения графика функции заданной параметрически.
Диффернцирование функции одной переменной.
Производной данной функции по аргументу назывется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее произвольным образом стремится к нулю:
Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции.
Правила дифференцирования.
Если и являются дифференцируемыми функциями аргумента , то:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Таблица производных элементарных функций:
|
Функция |
Производная функции |
1. |
|
|
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
|
|
6. |
|
|
7. |
|
|
8. |
|
|
9. |
|
|
10. |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
13. |
|
|
14. |
|
|
15. |
|
|
Задания 1. Найти производные функции:
1.
|
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. . |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
21. |
22. |
2. Производная сложной функции.
Если и являются дифференцируемыми функциями своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной :
(6)
В случае , , :
(7)
Аналогично во всех более сложных случаях.
Пример 1
Найти производную функции
Решение:
Аргументом данной функции является
Используя таблицу производных, имеем:
.
Производную функции по переменной найдем, используя правило дифференцирования частного (3) и таблицу производных:
Таким образом, получаем, согласно (6):
Ответ:
Задания 2. Найти производные функции:
1.
|
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. . |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
21. |
22. |