Числовые характеристики выборочной совокупности
Числовыми характеристиками случайного признака в выборке являются:
выборочная средняя (выборочный начальный момент первого порядка ):
или ; (10.1)
выборочная дисперсия (выборочный центральный момент второго порядка ):
или (10.2)
выборочное среднее квадратичное отклонение
(10.3)
модой Мо эмпирического распределения называется значение признака, обладающего наибольшей частотой;
для интервального вариационного ряда
(10.4)
где нижняя граница модального интервала,
частоты модального, предмодального и послемодального интервалов,
h ширина интервала (шаг ряда);
медианой Ме эмпирического распределения называется значение случайного признака, делящего выборочную совокупность на две равновеликие части; для дискретного ряда медиана равна или , для интервального
(10.5)
где нижняя граница медианного интервала, определяемого по вы-
шеуказанному правилу;
n объем выборки;
me частота медианного интервала;
S-1 накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
6) коэффициент вариации V = (10.6)
7) асимметрия и эксцесс эмпирического распределения
(10.7)
где выборочные центральные моменты определяются через начальные моменты случайной величины соотношениями
В задачах 10.5 – 10.7 вычислить характеристики выборочной совокупности (среднее значение случайного признака, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану, коэффициент вариации, асимметрию и эксцесс).
10.5.
Интервалы |
5 – 7 |
7 – 9 |
9 – 11 |
11 – 13 |
13 – 15 |
15 – 17 |
Частоты |
8 |
14 |
40 |
26 |
6 |
4 |
10.6.
Интервалы |
10 – 14 |
14 – 18 |
18 – 22 |
22 – 26 |
26 – 30 |
30 – 34 |
Частоты |
1 |
5 |
10 |
20 |
18 |
3 |
10.7.
Интервалы |
2 – 4 |
4 – 6 |
6 – 8 |
8 – 10 |
10 –12 |
12 –14 |
Частоты |
10 |
20 |
10 |
8 |
4 |
1 |
В том случае, когда значения случайного признака в выборке выражены большими числами, затрудняющими процедуры вычислений, можно использовать линейное преобразование вида
(10.8)
где h – шаг ряда (ширина интервала),
xm мода выборочного распределения.
Преобразование вносит в выборку систематическую ошибку xm , при этом результат подвергается преобразованию масштаба с коэффициентом В итоге новые варианты u1, u2, …, un можно рассматривать как выборку из генеральной совокупности Тогда выборочные моменты случайной величины Х определяются через соответствующие моменты случайной величины U следующим образом:
в частности, откуда следует, что
10.8. Вычислить для данной выборки.
Интервалы |
134-138 |
138-142 |
142-146 |
146-150 |
150-154 |
154-158 |
Частоты |
1 |
3 |
15 |
18 |
14 |
2 |
Преобразуем интервальный ряд в дискретный, взяв в качестве дискретных значений xi признака середины интервалов. Одновременно преобразуем случайную величину Х в случайную величину U при h = 4 и xm = 148. Составим рабочую таблицу (10.3).
Таблица 10.3
xi |
mi |
ui |
ui mi |
|
|
|
136 |
1 |
- 3 |
- 3 |
9 |
- 27 |
81 |
140 |
3 |
- 2 |
- 6 |
12 |
- 24 |
48 |
144 |
15 |
-1 |
- 15 |
15 |
- 15 |
15 |
148 |
18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
152 |
14 |
1 |
14 |
14 |
14 |
14 |
156 |
2 |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
|
53 |
|
- 6 |
58 |
- 36 |
190 |
Заполнив таблицу, вычисляем выборочные начальные моменты «условного» признака U:
Далее находим выборочные центральные моменты признака U.
Наконец, определяем искомые характеристики выборки: