Глава 4

ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСИКИ И

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

4.1. Динамические характеристики движения материальной точки

Динамическими характеристиками движения называют физические величины, характеризующие движение материальной точки и зависящие от ее массы. Они включают в свое определение массу материальной точки и ее скорость. Таких характеристик три: импульс, момент импульса и кинетическая энергия.

4.1.1. Импульс

Предполагая, что масса m = const, внесем ее под знак производной в уравнении движения

Придем к уравнению

(4.1)

где p = mv. Умножим обе части полученного уравнения на dt. Будем иметь

dp = Fdt. (4.2)

Мы видим, что при действии на материальную точку силы в течение элементарного промежутка времени ее движение изменилось таким образом, что произошло элементарное приращение величины p = mv. Следовательно, вектор p, равный произведению массы материальной точки на вектор ее скорости, характеризует движение материальной точки. Этот вектор и называется импульсом материальной точки. Видим, что элементарное приращение импульса материальной точки равно элементарному импульсу силы, действующей на точку.

Уравнение (4.1) называют уравнением движения в обобщенной форме. Это уравнение можно записать в компактном виде

В проекциях на координатные оси это векторное уравнение запишется в виде трех скалярных уравнений:

Уравнение (4.1) показывает, что скорость изменения импульса материальной точки равна силе, действующей на материальную точку, и направлена вдоль направления этой силы. Вектор Fdt называется элементарным импульсом силы. Таким образом, согласно соотношению (4.2), элементарное приращение импульса материальной точки равно элементарному импульсу силы.

Проинтегрируем обе части равенства (4.2) справа по времени от t₁ до t₂, а слева по импульсу в пределах от p₁ до p₂, соответствующих указанным моментам времени, придем к соотношению

(4.3)

Правая часть равенства (4.3) называется импульсом силы за промежуток времени от t₁ до t₂, а само это равенство выражает собой теорему об изменении импульса материальной точки. Эта теорема утверждает, что изменение импульса материальной точки за промежуток времени от t₁ до t₂ равно импульсу силы за этот промежуток времени.

Из соотношения (4.2) следует, что если на материальную точку действует сила, хотя и небольшая по величине, но в течение длительного промежутка времени, то импульс точки, а с ним и ее скорость будут неограниченно возрастать. И в какой-то момент эта скорость может превысить скорость света в вакууме, что будет противоречить теории относительности. Чтобы снять это противоречие нужно принять другое определение импульса материальной точки, а именно

(4.4)

При таком определении импульса материальной точки ее скорость

будет стремиться к предельному значению c при p

Импульс, определяемый формулой, (4.4) называется релятивистским импульсом. Эту формулу можно рассматривать как общее определение импульса, справедливое для любых скоростей движения материальной точки. Его можно представить также в виде

p = m_rv.

Величину

можно рассматривать как релятивистскую массу материальной точки при ее движении со скоростью v, а массу m – как массу покоя этой точки. Масса покоя есть масса точки при v Как видим, масса материальной точки возрастает с ее скоростью и при v релятивистская масса Релятивистское возрастание массы со скоростью проверено в разнообразных опытах по отклонению электронов в электрических и магнитных полях; косвенным образом оно проверяется также при работе ускорителей заряженных частиц высоких энергий.

Уравнение движения (3.14) будет справедливо и в релятивистской динамике, если импульс определен выражением (3.19)