Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения

_________________________________

И. А. Дроздова, Г. Б. Тодер

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

(зАДАЧИ)

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний к решению задач по физике

Омск 2009

УДК 530.1(075.8)

ББК 22.3

Д75

Законы сохранения в механике (задачи): Методические указания к решению задач по физике / И. А. Дроздова, Г. Б. Тодер; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2009. 34 с.

Составлены в соответствии с действующей программой по курсу общей физики для втузов. Приведены основные законы и формулы, необходимые для решения задач по разделу «Законы сохранения в механике», задачи разного уровня сложности на движение и взаимодействие материальных точек и абсолютно твердых тел, в том числе на различные типы столкновений, требующие применения законов сохранения, а также задачи на вычисление механической работы и мощность.

Предназначены для студентов первого курса технических вузов дневной и заочной формы обучения.

Библиогр.: 6 назв. Табл. 1. Рис. 1.

Рецензенты: доктор техн. наук, профессор В. А. Нехаев;

канд. техн. наук, доцент В. П. Шабалин.

канnmnmn.

________________________

© Омский гос. университет

п утей сообщения, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 1 1 5

1. Основные законы и формулы 11 6

2. Задачи для самостоятельного решения 1 12

2.1. Работа. Энергия. Закон сохранения энергии 1 12

2.2. Закон сохранения импульса 1 17

2.3. Закон сохранения момента импульса 24

3. Пример оформления решения задачи 1 30

Библиографический список 1 33

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания предназначены в помощь студентам при самостоятельном решении задач по разделу «Законы сохранения в механике».

Самостоятельная работа студентов будет эффективной, если дополнительно использовать материал методических указаний [1], в которых подробно рассмотрены примеры решения задач на применение законов сохранения импульса, момента импульса и энергии в механике материальной точки и абсолютно твердого тела. Прежде чем приступить к решению задачи, следует тщательно изучить соответствующие теоретические сведения, приведенные в работах [2 – 6].

Данные методические указания состоят из трех разделов. В первом разделе содержатся основные теоретические сведения, необходимые для решения задач по разделу «Законы сохранения в механике». Во втором разделе приведены задачи для самостоятельного решения, они разбиты по темам и расположены по возрастанию сложности. Задачи повышенной сложности помечены звездочкой (*). Пример правильного оформления решения задачи представлен в третьем разделе.

Для решения содержащихся в методических указаниях задач применяются модели материальной точки и абсолютно твердого тела и некоторые ограничения. Если в условиях задачи нет специальных указаний, то все твердые тела считаются однородными; значения всех величин даны в инерциальной системе отсчета, связанной с землей; силой сопротивления воздуха и силой трения на оси следует пренебречь.

При решении задач следует сначала понять условия, в которых происходят рассматриваемые явления, и затем записывать необходимые формулы. Задачи рекомендуется решать сначала в общем виде. Такой подход позволяет лучше понять физические закономерности, в частности, выяснить, как изменяется искомая физическая величина при изменении исходных данных, и выработать общие приемы решения задач.

Следует отметить, что терминам «импульс» и «момент импульса», принятым в физике, в технических дисциплинах соответствуют термины «количество движения» и «кинетический момент» соответственно, кинетическую энергию обычно обозначают буквой T, потенциальную – П, мощность силы (момента) – N.

1. Основные законы и формулы

В общем случае работа A, совершаемая силой по перемещению материальной точки из точки М₀(x₀, y₀, z₀) в точку M₁(x₁, y₁, z₁), определяется с помощью криволинейного интеграла:

, (1.1)

где – скалярное произведение векторов силы и элементарного перемещения .

Расчет мгновенной P и средней <P> мощности выполняется по формуле:

(1.2)

где dA – элементарная работа, производимая силой за время dt;

A – полная работа силы за время t.

Средняя мощность

Если при прямолинейном перемещении материальной точки работа совершается силой не зависящей от координат, то формула (1.1) упрощается и принимает вид:

(1.3)

где  – угол между векторами силы и перемещения

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси Z внешняя сила, создающая момент совершает работу:

, (1.4)

где M_φ – проекция вектора на направление вектора угловой скорости¹, M_φ = ± M_Z. Знак работы зависит от знака M_ .

Если момент сил относительно оси M_z постоянен, а начало отсчета угла поворота совпадает с началом действия силы ( = 0), то

A = M_φ φ. (1.5)

Мгновенную мощность P при вращательном действии силы можно вычислить по формуле:

Р = (1.6)

Если материальная точка движется под действием консервативной силы (в потенциальном силовом поле) по некоторой траектории от точки 1 с радиусом-вектором до точки 2 с радиусом-вектором , то эта сила совершает работу

, (1.7)

не зависящую от пути, по которому движется тело.

В формуле (1.7) W_p ( ) – потенциальная энергия материальной точки.

Потенциальная энергия тела массой m, центр масс которого находится на высоте h вблизи поверхности Земли, рассчитывается по уравнению

W_р = mgh (1.8)

при условии, что у поверхности Земли потенциальная энергия тела принимается равной нулю, и зависимость ускорения свободного падения g вблизи поверхности Земли от высоты не учитывается.

При условии, что потенциальная энергия недеформированного (x = 0) тела принимается равной нулю, потенциальная энергия стержня или пружины при их малом растяжении или сжатии вычисляется по выражению:

W_р = kx²/2, (1.9)

где x – смещение точек деформированных тел от положения равновесия;

k – коэффициент упругости (жесткость) пружины или стержня.

Приращение кинетической энергии системы материальных точек (твердого тела) равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы:

(1.10)

Это утверждение называется теоремой о приращении кинетической энергии, с ее помощью решаются многие задачи динамики.

Работа самой механической системы против сил, приложенных к ней, противоположна по знаку и равна по значению работе, совершаемой этими силами над системой.

Коэффициент полезного действия (КПД) механизма определяется отношением полезной (A_пол) и совершенной механизмом (A_сов) работ:

. (1.11)

Кинетическая энергия материальной точки массой m, движущейся со скоростью а также кинетическая энергия абсолютно твердого тела массой m, движущегося поступательно со скоростью определяются по формуле:

. (1.12)

Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z с угловой скоростью , рассчитывается по уравнению:

, (1.13)

где I – момент инерции тела относительно оси Z.

Моменты инерции I_C однородных тел правильной геометрической формы массой m относительно оси, проходящей через центр масс C, определяются по формулам, указанным в таблице. Если ось Z не проходит через центр масс, то момент инерции тела относительно этой оси определяется по теореме Гюйгенса-Штейнера:

I = I_C + mb² , (1.14)

где I_C – момент инерции тела относительно оси, параллельной оси Z и проходящей через его центр масс;

b – расстояние между осями.

Моменты инерции I_C однородных тел правильной геометрической формы

массой m относительно оси Z

Тело	Расположение оси Z	Формула
Материальная точка массой m	Находится на расстоянии R от точки	I = mR2
Тонкий стержень длиной l	Перпендикулярна стержню и проходит через его центр
Тонкий стержень	Совпадает со стержнем
Шар радиусом R	Проходит через центр шара
Диск (цилиндр) радиусом R	Перпендикулярна диску (основаниям цилиндра) и проходит через его центр
Кольцо (обруч) радиусом R	Перпендикулярна кольцу (обручу) и проходит через его центр	IC = mR2

Связь линейной и угловой скоростей точки абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и модулей этих скоростей описывается соотношением:

(1.15)

где – радиус-вектор данной точки, проведенный из начала координат, лежащего на оси вращения;

R – радиус окружности, по которой движется точка.

_{Модуль скорости  = R.}

Кинетическая энергия абсолютно твердого тела при его плоском движении может быть вычислена следующими способами:

1) как сумма кинетической энергии поступательного и вращательного движений тела – по формуле:

(1.16)

где v_С – скорость поступательного движения центра масс тела;

I_С – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс;

2) как энергия вращательного движения тела вокруг мгновенной оси вращения – по уравнению (1.13). Формула (1.16) представляет собой математи-ческую формулировку теоремы Кенига.

Полная механическая энергия тела, движущегося во внешнем потенциальном поле сил, равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:

W_м = W_к + W_р. (1.17)

Механическая энергия системы тел равна сумме механических энергий тел, входящих в систему.

В отсутствие диссипативных сил к механической системе применим закон сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой консервативной системы тел остается постоянной, при взаимодействии тел она может переходить из кинетической энергии в потенциальную и обратно.

В общем случае, в том числе при наличии диссипативных сил (например, сил трения), когда механическая энергия может переходить в другие виды энергии, в частности во внутреннюю, выполняется общефизический закон сохранения энергии: во всех процессах, происходящих в природе, энергия ниоткуда не возникает, никуда не исчезает, а лишь переходит из одной формы в другую.

Импульс (количество движения) – это векторная характеристика движения. Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью , определяется по формуле:

(1.18)

импульс системы – по выражению:

, (1.19)

где – импульс i-го тела (материальной точки).

Если на систему материальных точек не действуют внешние силы (система является изолированной) или векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения (полный импульс) системы не изменяется (ни по величине, ни по направлению):

. (1.20)

Это утверждение носит название «закон сохранения импульса».

В случае, когда результирующая внешняя сила не равна нулю, но ее проекция на некоторую ось, например на ось X, равна нулю, проекция импульса системы на эту ось остается постоянной:

. (1.21)

Заметим, что импульсы всех рассматриваемых тел в формулах (1.19) и (1.21) должны вычисляться в одной и той же инерциальной системе отсчета.

Момент импульса (кинетический момент, момент количества движения) относительно некоторого неподвижного центра (точки) O – характеристика вращательного движения абсолютно твердого тела. Момент импульса системы абсолютно твердых тел равен векторной сумме моментов импульса тел:

= (1.22)

где – момент импульса i-го тела.

Если на систему абсолютно твердых тел не действуют моменты внешних сил или результирующий момент сил равен нулю, то момент импульса системы тел относительно точки O остается постоянным:

(1.23)

т. е. выполняется закон сохранения момента импульса.

Пусть абсолютно твердое тело вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси Z, его момент инерции относительно этой оси – I (осевой момент инерции). Тогда момент импульса тела относительно оси Z (проекция вектора момента импульса на ось Z)

L_z = I (1.24)

где – проекция угловой скорости тела на ось Z.

Если результирующий момент внешних сил, действующих на систему тел, не равен нулю, но его проекция на некоторую ось (момент сил относительно оси) равна нулю, то момент импульса системы относительно этой оси остается постоянным. Например, если система тел вращается вокруг неподвижной оси Z и результирующий момент внешних сил относительно этой оси равен нулю, то момент импульса системы относительно оси вращения не меняется:

L_z = (1.25)

где L_iz и I_i – моменты импульса и инерции тел, входящих в систему, относительно оси Z соответственно;

_iZ – проекция угловой скорости тел на ось Z.

К числу задач, решаемых в курсе механики и иллюстрирующих удобство применения законов сохранения, относятся задачи на столкновение (соударение) двух тел.

Для любого столкновения выполняются общефизический закон сохранения энергии, законы сохранения импульса и момента импульса. Для абсолютно упругого удара применяется закон сохранения механической энергии. В случае неупругого удара закон сохранения механической энергии не выполняется, так как при неупругом ударе часть механической (кинетической) энергии системы расходуется на деформацию соударяющихся тел и, в конечном счете, переходит в тепловую (внутреннюю) энергию.

По определению при абсолютно неупругом ударе сразу после взаимо-действия тела движутся как одно целое с общей скоростью.