Волновое уравнение.
Волновые процессы представляют собой весьма общий класс явлений . Образование волны обусловливается наличием связей между отдельными частями системы , в силу которых понятие изолированного процесса является , конечно, далеко идущей абстракцией. Сравнительно редки случаи ,когда процесс , протекающий в какой либо части пространства, можно рассматривать как изолированный. Обычно он вызывает соответствующие изменения в соседних точках системы , передавая им некоторое количество энергии . От этих точек возмущение переходит к смежным с ними и т.д., распространяясь от точки к точке , т.е. создавая волну . В зависимости от природы связей , которые обусловливают указанное взаимодействие , мы имеем волну той или иной природы. Упругие силы ,действующие между элементами любого твердого , жидкого или газообразного тела, приводят к возникновению упругих (акустических) волн в телах. Возмущение горизонтальной поверхности воды становится источником поверхностных волн вследствие связей между соседними участками воды, обусловленных силой тяжести и подвижностью частиц жидкости . небольшая деформация поверхности жидкости может дать начало капиллярным волнам, вызванным действием молекулярных сил , обусловливающих явления в поверхностном слое . Электромагнитное возмущение, возникшее в каком либо месте пространства, в силу электромагнитных связей , выражающихся в законах электромагнетизма и электромагнитной индукции , становится источником таких же возмущений в соседних участках пространства , от которых оно передается все далее и далее: возникает электромагнитная волна, которая (по Максвеллу) должна распространятся со скоростью света.
Несмотря на бесконечное множество физических процессов , вызывающих волны , образование волн проходит по одному общему типу. Возмущение , происшедшее в какой-нибудь точке в известный момент времени, проявляется спустя некоторое время на некотором расстоянии от начальной точки , т.е. передается с определенной скоростью. Рассмотрим для простоты распространение возмущений по какому-либо одному направлению x; мы можем изобразить возмущение s как функцию координаты x и времени t: s=f(x,t). Легко видеть, распространение возмущений со скоростью v вдоль направления x изобразится той же функцией , а аргумент которой t и x входят в виде комбинации (vt-x) или (t-x/v). Действительно, это строение аргумента показывает, что значение функции , которое она имеет в точке x в момент времени t, повторяется в нес5колько б т.е. эта скорость равна более отдаленной точке x+dx в более поздний момент времени t+dt, если только
vt-x=v(t+dt)-(x+dx) (2.2.1)
Т.о. возмущение за время dt переместится на расстояние dx , распространившись со скоростью dx/dt. Из соотношения (2.2.1) следует ,что dx/dt=v, т.е. эта скорость равна v.
Итак, любая функция от аргумента vt-x выражает распространение возмущения вдоль x в сторону возрастающих значений x с постоянной скоростью v. Аналогично любая функция от аргумента vt+x описывает распространение импульса со скоростью v, но в противоположную сторону. Вид функции f позволяет определить форму возмущения для любого момента t и зависит от условий , вызвавших его возникновение .
Нетрудно показать, что дифференциальное уравнение , описывающее волновое движение ,т.е. уравнение , решение которого будет любая функция от аргумента (vt-x)или (vt+x), будет иметь вид
(2.2.2)
Действительно простой подстановкой легко убедиться , что возмущение s, определяется соотношением
(2.2.3)
где
произвольные
функции , является решением (2.2.2) Так
как это уравнение есть дифференциальное
уравнение второго порядка, то найденное
решение как содержащее две произвольные
функции , является общим его решением
. Это решение представляет совокупность
двух волн , распространяющихся со
скоростью v
навстречу
друг другу . Само собой разумеется , что
из самого дифференциального уравнения
никогда нельзя сделать заключения о
специальной форме функции
. Поэтому дифференциальное уравнение
типа (2.2.2) математически описывает
всевозможные процессы распространения
волн (вдоль оси x)
. Рассмотрим в качестве примера
образование и распространение
электромагнитной волны .
Как известно , возникновение в каком- либо месте среды переменного электрического тока сопровождается появлением в окружающем пространстве переменного магнитного поля(электромагнетизм) ; это последнее ведет к образованию переменного электрического поля (электромагнитной индукция), обусловливающего переменные токи смещения в окружающем пространстве. Токи смещения обусловливают возникновение магнитного поля , так же как обычные токи проводимости в проводнике создают вокруг себя магнитное поле .Т.о., все новые и новые области пространства становятся областью действия электромагнитных полей: возникшее где либо электрическое колебание не остается локализованным , а постепенно захватывает все новые и новые участки пространства, распространясь в виде электромагнитной волны.