Показатели вариации

Цель работы: изучение вариации признаков и показателей вариаций, а также их применение для решения конкретных задач.

Содержание домашней подготовки

1. Познакомиться с теоретическим материалом.

2. Изучить исходные данные. Содержание работы в лаборатории и порядок ее выполнения

1. Запустить программу Var ( файл var. exe ) для дальнейшего выполнения работы.

2. Выполнить задачи теста.

3. Рассчитать показатели вариации, асимметрии и эксцесса. В качестве исходных данных использовать данные таблицы 1. Построить гистограмму и отложить на графике значения показателей вариации.

4. Рассчитать межгрупповую общую и среднюю из внутригрупповых дисперсии для аналитической группировки, используя данные таблицы. Рассчитать эмпирическое корреляционное отношение и коэффициент детерминации, построить график.

5. Проанализировать и сделать выводы о зависимости результативного и факторного признаков.

6. Составить отчеты и ответить на контрольные вопросы.

Общие положения Показатели вариации

Изучение вариации в статистике и социально–экономических исследованиях имеет большое значение, так как величина вариации признака в статистической совокупности характеризует ее однородность.

В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные абсолютные и относительные показатели (меры) вариаций в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К абсолютным показателям относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение, квартильное отклонение. Изучение вариации признаков общественных явлений находится в прямой связи с группировками, в частности с рядами распределения.

Абсолютные показатели

1) Размах вариации (R) является наиболее простым измерителем вариаций признака. Он представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:

R = X_MAX X_MIN ,

где X_MAX - наибольшее значение варьирующего признака;

X_MIN - наименьшее значение признака.

Безусловным достоинством этого показателя является простота расчета. Однако размах вариации зависит от величины только крайних значений признака, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями. В частности, на практике он находит применение в предупредительном контроле качества продукции.

С целью более точной характеристики вариации признакопоказатель основывается на учете колеблемости всех значений признака. Поскольку средняя арифметическая является обобщающей характеристикой свойств совокупности, большинство показателей вариации основано на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц совокупности от этой величины. К таким показателям относятся среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, представляющие собой среднюю арифметическую из отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической.

2) Среднее линейное отклонение ( ) представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней. Его можно рассчитать по формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или наличия частот в ряду распределения:

- невзвешенное среднее линейное отклонение;

- взвешенное среднее линейное отклонение,

где X_i - i-й вариант признака, - вес i-го варианта, m - объем совокупности.

Все эти показатели имеют ту же размерность, что и признак, для которого они вычисляются.

3) Дисперсия ( или D) представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины (). Дисперсия вычисляется по формулам простой невзвешенной и взвешенной соответственно:

и .

Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из них позволяют упростить ее вычисления: 1) дисперсия постоянной величины равна нулю; 2) если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится; 3) если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия уменьшится в k² раз.

4) Среднее квадратическое отклонение() представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней:

- невзвешенное,

- взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение - величина именованная, имеет размерность усредняемого признака. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение – наиболее широко применяемые показатели вариации. Объясняется это тем, что они входят в большинство теорем теории вероятностей, служащих фундаментом математической статистики.

При расчете показателей вариации по интервальным рядам распределения необходимо сначала определить середины интервалов, а затем вести дальнейшие расчеты, рассматривая ряд середин интервалов как дискретный ряд распределения.

5) Квартильное отклонение (q). Для характеристики вариации признаков в совокупности можно применить так называемое квартильное отклонение. Этот показатель также можно применить вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений

q = (Q₃ – Q₁) / 2.

Квартиль представляет собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на 4 равновеликие части. Различают квартиль нижний Q₁, отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний Q₃, отсекающий ¼ часть с наибольшими значениями признака. Средним квартилем Q₂ является медиана.

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используют формулы:

,

где -нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25 %),

-нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75 %),

- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль,

- то же самое для верхнего квартиля,

- частота интервала, содержащего нижний квартиль,

- частота интервала, содержащего верхний квартиль.

Так как на квартильное отклонение не влияют отклонения всех значений признака, то его использование следует ограничить случаями, когда определение среднего квадратического отклонения затруднительно или невозможно. В частности, этот показатель может быть рекомендован для рядов распределения с открытыми интервалами.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Эти показатели вычисляются как отношения абсолютных к средней арифметической. Выражаются они в % и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному).