2.4.3.Питання для самоконтролю

1. Як ввести матрицю або вектор ?

2. Як ввести оператор обчислення зворотної матриці ?

3. Як знайти визначник матриці?

4. Які матриці можна множити?

5. Як помножити матрицю на вектор?

6. Як знайти слід матриці?

Лабораторна робота №2.5

Тема: Рішення рівнянь, систем рівнянь.

Мета: Навчитися розв’язувати рівняння та системи рівнянь.

2.5.1.Основні теоретичні відомості

Часто виникає задача пошуку числа x, для якого деяка функція f(x)=0. Для багатовимірного випадку - вектор (x₁, x₂, … x_n,), елементи якого задовольняють рівняння

.

Якщо функції f_k лінійні відносно x_k для k=1,2,…,n, тоді це система лінійних алгебраїчних рівнянь.

Mathcad шукає розв’язок наближеними чисельними методами. Для розв’язування необхідно вказувати початкове наближення розв’язку. Точність результату залежить від системної змінної TOL.

2.5.1.1.Знаходження кореня рівняння

Корінь одного рівняння знаходиться функцією root. Вона може бути записана з двома або чотирма аргументами. У першому випадку першим аргументом вказується функція, а другим – змінна, якій заздалегідь присвоєно початкове значення (рис.2.22). У другому випадку 1-й аргумент – функція рівняння, 2-й – змінна, значення якої змінюються для знаходження кореня, 3-й – початкове значення відрізку, у якому знаходиться ку корінь, 4-1 – кінцеве значення цього ж відрізку.

Рис.2.22 - Застосування функції root

Перед записом функції root необхідно знайти початкове наближення або відрізок ізоляції кореня. Це можна зробити графічним методом, побудувавши графік функції. Точки перетину прямої y=0 і функції і будуть початковими наближеннями.

2.5.1.2.Розв’язування системи лінійних рівнянь

У системі n лінійних рівнянь k-те рівняння має вигляд a_k1x₁ + a_k2x₂ +…+ a_knx_n =b_k, тобто система наступна

.

Матрична форма запису буде Ax=b. Розв’язок у матричному вигляді можна записати x=A^-1b (рис.2.23). Розв’язок можна знайти й іншими методами. Якщо задати матрицю коефіцієнтів A і вектор вільних членів b, функція lsolve(A,b) буде цим розв’язком.

Іншою можливістю розв’язування системи лінійних рівнянь є використання обчислювального блоку (рис.2.6). Використовуючи цей метод, необхідно задати початкові значення для змінних, у яких буде сформований розв’язок.

На рис 2.24 це x1, x2, x3, яким задані значення вільних членів рівнянь. Дальше службове слово Given, після якого записується рівняння. Знак рівності повинен бути логічною рівністю (жирним), тобто вибраний з панелі Boolean або комбінацією клавіш Ctrl+=.Після рівнянь задається функція присвоєння, лівим аргументом якої є вектор із змінних розв’язку, а правим - функція find або miner з аргументами – змінними розв’язку. Результат виводиться виводом значень змінних розв’язку.

Рис.2.23 - Розв’язок системи лінійних рівнянь

Рис.2.24 - Обчислювальний блок

2.5.1.3.Розв’язування системи трансцендентних рівнянь

Система трансцендентних рівнянь має вигляд

.

Результатом розв’язування цієї системи буде вектор із n елементів. Для його знаходження використовують обчислювальний блок (див. 2.2.2). Використання функції продемонстровано на рис.2.25.

Рис.2.25 - Розв’язування системи рівнянь