Хід роботи

Побудувати таблицю множення групи.
Знайти підгрупи заданої групи. По кожній підгрупі розкласти задану групу на праві (або ліві) суміжні класи.
Знайти класи спряжених елементів.
Знайти нормальні дільники групи.

Заданою групою вважати одну із нижчеподаних точкових груп.

Контрольні запитання

Що називається перетворенням симетрії?
Що називається точковою групою симетрії?
Дайте означення групи.
Наведіть приклади скінченних і нескінченних груп.
Як складається таблиця множення елементів групи?
Які ви знаєте методи для знаходження таблиці множення елементів групи?
Що називається підгрупою групи?
Що називається суміжним класом?
Сформулюйте і доведіть теореми про суміжні класи.
Які класи називаються спряженими?

Лабораторна робота 3 Складання таблиць характерів незвідних представлень точкових кристалографічних груп

Мета роботи: Навчитись визначати елементи точкових груп та складати таблицю характерів незвідних представлень точкової групи.

Завдання: Визначити елементи заданої точкової групи та знайти класи спряжених елементів. Скласти таблицю множення і визначити мультиплікативні коефіцієнти. Провести розрахунки детермінантного рівняння. Користуючись співвідношеннями ортогональності, записати таблицю характерів незвідних представлень точкової групи.

Об’єкти дослідження: кристалографічні моделі нижчих, середніх та вищих сингоній.

Література: [3], [6], [5].

Теоретичні відомості Регулярні представлення операцій симетрії кристалографічних груп та класів спряжених елементів.

Для довільної кристалографічної точкової групи можна побудувати таблицю множення (квадрат Келі) так, щоб по II діагоналі стояли лише одиничні елементи Е і скласти з неї матрицю розмірністю g×g де g - кількість елементів у даній групі. Якщо для кожного елемента писати "І" там, де зустрічається даний елемент "І" у всіх інших позиціях, можна отримати набір матриць, який називається регулярним представленням групи.

Використання матриць дозволяє представити клас спряжених елементів групи, який містить два або більше елементів. Це здійснюється просто додаванням матриць. Додавання регулярних матриць для елементів з одного і того ж класу завжди призводить до симетричної відносно діагоналі матриці.

Перемноження класів спряжених елементів.

Класи спряжених елементів можна перемножувати, користуючись таблицею множення або за допомогою матричного множення, маючи регулярне представлення точкової групи. Добуток отримується множенням рядка першої матриці на стовпчик другої. Позначивши класи спряжених елементів групи через , в загальному випадку отримуємо

Множник називається мультиплікативним коефіцієнтом І позначається через індекси відповідних класів спряжених елементів.

Застосування мультиплікативних коефіцієнтів для знаходження незвідних представлень точкової групи.

Добуток двох класів спряжених елементів даної точкової групи завжди дорівнює одному класу або сумі декількох класів цієї ж точкової групи. У загальному вигляді можна написати:

(3.1)

Цей вираз встановлює співвідношення між добутком класів спряжених елементів і мультиплікативними коефіцієнтами. Можна показати, що аналогічне співвідношення має місце для характерів матриць, які представляють класи спряжених елементів.

Позначимо через h (з відповідним індексом) число елементів у класі. Характер матриці, яка представляє даний клас, позначимо через χ (з відповідним індексом). Характер χ_E оператора ототожнення, повинен бути рівним розмірності представлення, тобто 1,2 або 3.

Виходячи з теореми про заміну класів спряжених елементів характерами в рівняннях, які містять мультиплікативні коефіцієнти, можна записати:

. (3.2)