1.3. Розрахунок складених конструкцій. Рівновага сил при наявності тертя ковзання

1.3.1. Складеною конструкцією називають сукупність кількох твердих тіл, які вільно спираються одне на одне або з’єднані між собою нежорсткими в’язями (наприклад, шарнірами, гнучкими пасами, тросами тощо).

Якщо система з n тіл перебуває в рівновазі, то кожне з цих тіл також перебуває в рівновазі, тому розрахунок складених конструкцій з n тіл може вестися двома шляхами:

• розглядається окремо рівновага кожного з n тіл окремо;

• розглядається рівновага всієї системи, а потім окремо ще n-1 тіла, що

входять до системи.

В обох випадках маємо 3n рівнянь рівноваги, розв’язання яких простіше (з точки зору математики) в першому випадку. Зауважимо, що при розгляді рівноваги кожного тіла слід враховувати сили взаємодії між окремими тілами (внутрішні сили). Ці сили відповідно до аксіоми рівності дії та протидії завжди рівні між собою за величиною та протилежні за напрямком.

1.3.2. Визначення рівноваги тіл з врахуванням тертя ковзання зводиться до звичайного розгляду граничного положення рівноваги, коли сила тертя досягає свого найбільшого значення

, (1.9)

де - безрозмірний коефіцієнт тертя ковзання, а - сила нормального тиску одного тіла на інше. Сила тертя виникає в площині дотику цих тіл і завжди напрямлена в бік протилежний тому, куди діючі сили намагаються зсунути тіло.

При аналітичному розв’язанні задач реакцію шорсткої поверхні зображають двома складовими та , а потім складають звичайні рівняння рівноваги (див.п.1.2.1), враховують рівність (1.9) і знаходять невідомі величини.

Приклад 1.4. Дві рами (рис.1.11,а) шарнірно з’єднані між собою в точці С. Ліва рама жорстко защемлена в точці А, а права прикріплена в точці В до шарнірно-рухомої опори. На систему діють сила , пара сил з моментом М та розподілені навантаження на ділянках АД та ВК. Визначити реакції опор А та В і тиск в шарнірі С, якщо кH, , кHм, кH/м, м, м. Зробити перевірку.

Розв’язання. Розрахунок складеної з двох рам конструкції почнемо з розгляду рівноваги правої рами ВКС, для чого роз’єднаємо складену конструкцію на дві частини (рис.1.11,б). В точці С зображаємо сили взаємодії між лівою і правою частинами конструкції:

, .

На раму ВКС діє активна сила ( кH) та пара сил з моментом кHм. Звільняємось від в’язі в точці В (шарнірно-рухома опора) і заміняємо її дію реакцією в’язі . На раму діє плоска довільна система сил, незалежних рівнянь рівноваги три:

; ;

; ;

; .

Розв’яжемо систему рівнянь відносно невідомих:

кH;

(кH);

кH.

Перевіримо отриманий результат:

.

Розглянемо рівновагу лівої рами АДC` (рис.1.11,б).

Відкидаємо жорстке защемлення А і заміняємо дію цієї в’язі трьома складовими , , . Активну силу розкладаємо також на складові ( , ) , що в подальшому надасть можливість використати теорему Вариньйона (п.1.2.5) при обчисленні моменту від сили , а навантаження розподілене за лінійним законом заміняємо активною силою ( кH), яку прикладаємо на віддалі 2b/3 від точки А. На раму АДC` діє плоска довільна система сил, незалежних рівнянь рівноваги три:

; ; ; ; ; .

Звідки:

(кH);

(кHм);

(кH).

Перевіримо ці результати:

.

Реакції знайдено правильно.

Зауваження: перевірку розв’язку задачі можна було проводити не окремо для кожної рами, а для всієї конструкції разом, склавши, наприклад, перевірне рівняння:

.

Точки А,С,К для перевірки використати було неможливо, бо вони вже

були задіяні при складанні незалежних рівнянь рівноваги, так само як і

рівняння проекцій на осі X та Y.

Відповідь: кH; кH; кH; кH; кH; кHм.

Знак “мінус” свідчить про те, що складові , , мають напрями протилежні зображеним на рис. 1.11,б.

Приклад 1.5. Дві рами (рис.1.12,а) шарнірно з’єднані між собою в точці С і кожна з них відповідно шарнірно закріплена в точках А та В шарнірно-нерухомими опорами. На систему діють сила , пара сил з моментом М та рівномірно розподілене навантаження інтенсивності q. Визначити реакції опор А, В і тиск в шарнірі С, якщо кH, кHм, кH/м, м, м, α=45^◦ Зробити перевірку.

Розв’язaння. Розглянемо рівновагу кожної рами окремо (рис.1.12,б): роз’єднаємо складену конструкцію в шарнірі С на дві частини, взаємодію

яких зобразимо сиилами , . В’язі в точках А та В (шарнірно нерухомі опори) замінимо відповідно складовими та , та реакцій в’язей. Силу розкладаємо на складові та , що в подальшому надасть можливість використати теорему Вариньйона (п.1.2.5) при обчисленні моментів від сили . Дію рівномірно розподіленого навантаження інтенсивності заміняємо (п.1.2.4)

зосередженою силою : кH. Розрахункова схема зображена

на рис 1.12,б.

На кожну раму діє плоска довільна система сил, тому для кожної рами складаємо по три незалежних рівняння рівноваги:

рама АДС ; ; (1)

; ; (2)

; ; (3)

рама СКВ ; ; (4)

; ; (5)

; ; (6)

Зауважимо, що коли дві шарнірно нерухомі опори розташовані на різних рівнях (рис.1.12,а), то рівняння моментів слід складати саме відносно точок, в яких розташовані ці опори, що дає можливість легко розв’язати систему шести рівнянь, починаючи з рівнянь (3) та (6): два рівняння і дві невідомих , . В нашому випадку досить відняти від третього рівняння шосте:

, звідси:

(кH);

тоді з рівняння (6): (кH).

Подальше розв’язання очевидне:

з (1) (кH), з (2) (кH),

з (4) (кH), з (5) (кH).

Перевіримо отриманий розв’язок (для всієї конструкції):

.

Реакції знайдено правильно.

Відповідь: кH, кH, кH, кH, кH, кH (складові , мають напрям протилежний зображеному на рис.1.12,б).

Приклад 1.6. Для підйому вагонетки по нахиленій площині з кутом нахилу (рис.1.13) використовується коловорот з гальмом. На барабан радіуса намотано стальний канат, який прикріплений до вагонетки. До барабана концентрично прикріплене стальне колесо радіуса , яке гальмують, притискуючи дерев’яну колодку до колеса, натиснувши на кінець важеля АВ. Визначити найменшу силу , яка зрівноважує вагонетку вагою , якщо коефіцієнт тертя вагонетки дерева по сталі ; коефіцієнт тертя вагонетки по площині ; м; м; м; кH. Визначити також реакції опор О та А,

я кщо вага барабана з колесом кH.

Розв’язання. Складена конструкція (рис.1.13) складається з трьох тіл, рівновагу яких послідовно розглядаємо: вагонетки Р (рис.1.14а), барабана з колесом (рис.1.14,в) та важеля АВ (рис.1.14,б).

На вагонетку, яку приймаємо за матеріальну точку, діє її власна вага ; в’язями для неї є шорстка нахилена поверхня та стальний трос, дію яких заміняємо нормальною реакцією , силою тертя та натягом . Таким чином, на вагонетку діє плоска система збіжних сил, незалежних рівнянь рівноваги два (1.2):

; , звідси кH;

; ,

звідси

(кH), бо (1.9).

Р озглянемо рівновагу барабана з колесом (рис.1.14,в), в’язями для яких є стальний трос, шарнірно-нерухома опора О та шорстка колодка К. Гнучка в’язь (трос) працює на розтяг і , бо це є сили взаємодії між вагонеткою і барабаном. Під дією сили барабан з колесом може обертатись навколо шарніра О проти годинникової стрілки. Цьому обертанню перешкоджає гальмівна дія колодки К: нормальна сила та сила тертя , напрям якої протилежний напряму можливого (під дією троса) руху колеса відносно колодки.

На барабан з колесом діють також складові , реакції шарнірно-нерухомої опори О та активна сила (власна вага). Маємо плоску довільну систему сил, рівнянь рівноваги три (1.4):

; ;

; ;

; ,

звідси кH; кH.

Розглянемо рівновагу важеля АВ з колодкою К і разом вони являють одне тіло. На важіль крім невідомої сили діють сили взаємодії з колесом , ( , ) та складові реакції шарнірно-нерухомої опори А, яка є в’яззю для важеля АВ. Таким чином, на важіль діє плоска довільна система сил:

; ;

; ;

; , звідси: кH; кH; кH.

Відповідь: кH, кH, кH, кH, кH (знак “—“ вказує, що складова має напрям, протилежний зображеному на рис. 1.13,б).

Приклад 1.7. Для складеної конструкції (рис.1.15) визначити найменшу вагу тіла, яке утримує задану систему в рівновазі, а також реакцію опори О. Вагою важеля знехтувати, поверхня 1-1 шорстка (коефіцієнт тертя ковзання f=0,2) , нитка невагома і нерозтяжна. Розрахунки провести для G=5кН, P=8кН, α=45⁰, а=0,5м, b=2м.

Розв’язання. Складена конструкція (рис.1.15,а) складається з двох тіл, розглянемо рівновагу кожного з них окремо. Застосовуючи принцип звільнення тіл від в’язей, замінимо дію відкинутих в’язей відповідними реакціями.

На вантаж G (рис.1.15,б) діє його власна вага , натяг нитки (Т=Р), тиск важеля , нормальна реакція шорсткої поверхні 1 – 1 та сила

тертя

Рис. 1.15

Розглядаючи тіло G як матеріальну точку, маємо систему збіжних сил на площині, незалежних рівнянь рівноваги два (1.2):

; ;

; .

На важіль (рис.1.15, в) діє сила натягу нитки , складові , реакції опори О та тиск тіла G на важіль ( ). Таким чином на важіль діє плоска довільна система сил, незалежних рівнянь рівноваги три (п.1.2.1):

; ;

; ;

.

Розв’язуючи систему п’яти рівнянь, отримуємо значення невідомих (студенти показують всі розрахунки в РГР, як і в попередніх завданнях).

Відповідь: Q=58,32 кН; N₁=22,33 кН;

N₂=17,86 кН; X₀=-37,88 кН; Y₀=-41,79 кН.