- •Предмет математичного моделювання.
- •Моделювання в економіці.
- •3. Класификація економіко – математичних моделей. Формальна класіфикація моделей.
- •4. Задачі планування та організації виробництва.
- •4.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
- •4.2. Задача про завантаження обладнання.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 1. Предмет, методи і завдання дисципліни. Класифікація задач. Лекція 2
- •Задачі математичного програмування.
- •2. Класифікація методів математичного програмування.
- •3. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.
- •Коефіціети прямих та побічних витрат.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 3 Тема лекції: Основні теореми та властивості задач лінійного програмування (лп).
- •1. Загальна форма задачі лінійного програмування (лп).
- •2. Форми запису загальної задачі лп.
- •3. Основні теореми та властивості задачі лп.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі зметодів її розв’язування Лекція 4 Тема лекції: Графічний метод розв’язування задач лп.
- •2. Графічний метод розв’язування задач лп з
- •3. Приклади розв’язування задач лп графічним методом.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язання Лекція 5 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом.
- •1. Симплекс-метод із стандартним базисом.
- •2. Теоретичні основи симплекс-метода.
- •3. Поняття виродженності задач лп.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 6 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом (продовження)
- •4. Правило уникнення зациклювання при застосуванні симплекс-методу.
- •5. Метод штучної базиси розв’язування задач лп.
- •6. Приклад вирішення задачі лп методом штучної бази.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 7 Тема лекції: Транспортна задача
- •1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.
- •2 Основні теореми транспортної задачі.
- •3. Метод північно-західного кута (діагональний.)
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 8 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •5. Метод потенціалів.
- •6. Приклад вирішення транспортної задачі.
- •7. Ускладнені задачі транспортного типу.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 9 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •Задача про призначення.
- •Розподільчи задачі загального типу.
- •Модель розподільчої задачі
- •Етапи розв’язання розподільчої задачі
- •Приклад вирішення задачі типу тз.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач. Лекція 10. Тема лекції: Двоїста задача лінійного програмування
- •1 Математичні моделі двоїстих задач.
- •3 Взаємозв’язок розв’язків прямої та двоїстої задач.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 5. Цілочислові та параметричні задачі лінійного програмування
- •Тема лекції: Узагальнення задачі лінійного програмування.
- •Задачі цілочислового програмування.
- •2. Метод Гоморі.
- •3. Параметричне лінійне програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри
- •1. Постановка задач теорії парних ігор з нульовою сумою.
- •Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.
- •Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри (продовження)
- •4. Графічний метод розв’язання теорії ігор.
- •5. Зведення задач теорії ігор до задач лп.
- •Зведення задачі лп до матричної гри.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- •Тема лекції: Задача дробово-лінійного програмування
- •Постановка задачі дробово-лінійного програмування.
- •2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задачі лінійного програмування.
- •3. Розв’янання задач дробово-лінійного програмування.
- •4. Графічне розв’язання задачі дробово-лінійного програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Задачі нелінійного програмування
- •1. Класичні методи розв’язання задач нелінійного програмування.
- •2. Метод множників Лагранжа.
- •3. Задачі опуклого програмування.
- •Задачі опуклого програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Основні поняття теорії варіаційного числення
- •Поняття про функціонал.
- •2. Екстремум функціоналу.
- •3. Класичні задачі варіаційного числення.
- •4. Варіація функції та приріст функціоналу.
- •5. Перша та друга варіації функціоналу.
- •Питання для самоконтролю.
Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.
Розглянемо парну гру:
Приклад 1.Задана платіжна матриця А парної гри з нульовою сумою: А= . Знайти ціну гри, сідлову точку гри.
Приклад 2. .Задана платіжна матриця А парної гри з нульовою сумою: А= . Знайти верхнью та нижню ціну гри.
Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
Якщо немає сідловок точки, то гра ведеться в мішаних стратегіях, тобто розглядається не вибір можливої стратегії, а ймовірність з котрою обирається ця стратегія. Мішана стратегія визначається сукупністю ймовірностей різних стратегій.
Нехай гравець А для визначення своєї мішаної стратегії використав метод випадкового вибіру.
Нехай х1 – ймовірність вибору 1-ої стратегії;
х2 - ймовірність вибору 2-ої стратегії;
…………………………………………………
xm - ймовірність вибору m-ої стратегії.
Означення 1. Мішаною стратегією гравця А називається упорядкований набір m чисел х1, х2, ….., xm, які задовольняють умовам: 0≤xi≤1, i= =1.
Мішані стратегії гравців А та В позначають =(x1,x2, …, xm), =(y1,y2,…,yn).
Всяка матрична гра з нульовою сумою має оптимальне рішення в мішаних стратегіях, при цьому відхилятися гравцям від цих стратегій не вигідно.
Теорема. О методі знаходження рішення.
Для того, щоб число ν було ціною гри, а Х* та Y* - оптимальними стратегіями, необхідно та достатньо, щоб виконувались умови:
j=
i=
Визначення оптимальних стратегій та ціни гри створюють процес знаходження рішення гри.
Теорема 2. Якщо один з гравців використовує мішану оптимальну стратегію, то його виграш дорівнює ціні гри ν незалежно від того, з якими частотами буде використовувати другий гравець стратегії, які вийшли до оптимальної стратегії( в тому числі і чисті стратегії).
Розглянемо гру з платіжною матрицею 2х2: A= .
Якщо сідлової точки нема, рішення гри є мішані стратегії =(х1,х2) та =(y1,y2) стратегії гравців А та В, для котрих ймовірністі xi yi відмінні від нуля, звуться активними.
Стратегію гравця А шукаємо по формулі ХА= , де Х=(х1,х2), =( ν, ν).
До даної системи рівнянь додаємо норміровочне рівняння х1+х2=1.
Для гравця В:
де Y= , = .
Розв’язавши систему рівнянь знайдемо оптимальні стратегії гравців та ціну гри ν.
Наслідок. Для того, щоб х*, була оптимальною мішаною стратегією матричнох гри з матрицею А та ціною гри ν, необхідно та достатньо, щоб виконувались наступні нерівності:
j=
Аналогічно для гравця В: Для того, щоб у* була оптимальною мішаною стратегією матричної гри з матрицею А та ціною гри ν, необхідно та достатньо, щоб виконувались наступні нерівності:
i=
Таким чином, для розв’язування гри необхідно визначити стратегії, що задовольняють вишенаведані системи обмежень та умови нормування:
0, =1, i= , , =1, j= .
Цей наслідок дозволяє сформулювати для розв’язання гри пару задач лінійного програмування.