Диаметр вала не первом участке

d₁= =57,6мм

Принимаем dв₁ = 60 мм.

Диаметр вала на втором участке

d₂= )=50,4мм

Принимаем dв₂ = 55 мм.

Диаметр вала на третьем участке

d₃= =31,8мм

Принимаем dв₃ = 35 мм.

3. Эскиз ступенчатого вала в масштабе показан на рисунке 4.

Для определения полного угла закручивания вала предварительно вычисляем полярные моменты инерции отдельных сечений вала:

Ір₁=π·d₁⁴ / 32=π/32(6,0·10^-2)⁴=127,17·10^-8 м⁴;

Ір₂=π·d₂⁴ / 32=π/32(5,5·10^-2)⁴=89,79·10^-8 м⁴;

Ір₃=π·d₃⁴ / 32=π/32(3,5·10^-2)⁴=14,72·10^-8 м⁴.

4. Определяем углы закручивания соответствующих участков вала:

φ⁰_AB=[T₁·І₁/(G·Ιp₁)]·180⁰/π=[1200·12·10^-2/(8·10¹⁰·127,17 ·10^-8)]·180⁰/π=0,081⁰

φ⁰_BС=[T₂·І₂/(G·Ιp₂)]·180⁰/π=[800·18·10^-2/(8·10¹⁰·89,79 ·10^-8)]·180⁰/π=0,115⁰

φ⁰_СD=[T₃·І₃/(G·Ιp₃)]·180⁰/π=[200·10·10^-2/(8·10¹⁰·14,72 ·10^-8)]·180⁰/π=0,097⁰

5. Полный угол закручивания вала:

φ⁰= φ⁰_AB+ φ⁰_BС+ φ⁰_СD=0,081⁰+0,115⁰+0,097⁰=0,293⁰ или φ⁰ 17,58'

Пятую задачу следует решать после изучения темы 2.5.

Изгиб – это такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты.

В большинстве случаев одновременно с изгибающими моментами возникают и поперечные силы; такой изгиб называют поперечным; если поперечные силы не возникают, изгиб называют чистым.

Плоскость проходящая через продольную ось бруса и одну из главных центральных осей (ось симметрии и перпендикулярная ей центральная ось являются

главными центральными осями сечения) его поперечного сечения называется главной плоскостью бруса.

В случае если силовая плоскость, т.е. плоскость действия нагрузок, совпадает с одной из главных плоскостей, имеет место прямой изгиб бруса.

Поперечная сила Q_у в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных к его отсеченной части.

Изгибающий момент М_х в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части, относительно той точки продольной оси бруса, через которую проходит рассматриваемое сечение.

Правило знаков для поперечной силы.

а) d_z б) d_z

Q_y Q_y

Q_y Q_y

+ -

Силам, проворачивающим отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения по ходу часовой стрелки, приписывается знак плюс, а силам, поворачивающим отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения против хода часовой стрелки, приписывается знак минус.

Правило знаков для изгибающих моментов.

а) б)

М_х М_х

М_х М_х

+ -

Изгибающий момент считается приложенным, если элемент бруса изгибается выпуклостью вниз (рис. а), т.е. таким образом, что его сжатые волокна находятся в верхней части.

Между выражениями изгибающего момента М_х, поперечной силой Q_у и интенсивностью распределенной нагрузки q существуют дифференциальные зависимости:

а) dM_x/d_Z=Q_y б) dQ_y/ d_Z=q

На основе метода сечений и дифференциальных зависимостей устанавливается взаимосвязь эпюр M_x и Q_y между собой и с внешней нагрузкой, поэтому достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями. Характерными являются сечения балок, где приложены сосредоточенные силы и моменты (включая опорные сечения), ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой.

Некоторые правила построения эпюр:

1. Если на некотором участке балки отсутствует распределенная нагрузка, то

эпюра Q – прямая, параллельная оси абсцисс, эпюра моментов на этом участке – наклонная прямая.

2. Если на некотором участке балки имеются равномерно распределенная на-

грузка, то эпюра Q – наклонная прямая, а эпюра М – парабола (кривая второго порядка).

3. Если на некотором участке:

а) Q>0, то изгибающий момент возрастает (слева на право).

б) Q<0, то изгибающий момент убывает.

в) Q=0, то изгибающий момент постоянный (чистый изгиб).

4. Если поперечная сила, изменяясь непрерывно, например, по линейному закону,

проходит через нулевое значение то в соответствующем сечении изгибающий момент имеет экстремальное (максимальное или минимальное) значение.

5.Под сосредоточенной силой на эпюре Q получается скачкообразное изменение

ординат – скачок на величину приложенной внешней силы, а на эпюре М – резкое изменение угла наклона (излом) смежных участков эпюры.

6. В точках, соответствующих началу и концу участка, в пределах которого к

балке приложена распределенная нагрузка, параболическая и прямолинейная части эпюры М сопрягаются плавно, если на границах указанного участка не приложено сосредоточенных сил.

7. Если распределенная нагрузка направлена вниз, то парабола, представляющая

собой опору М, обращена выпуклостью вверх, т.е. «навстречу» нагрузке.

8. Там, где к балке приложена сосредоточенная пара сил, на эпюре М получается

скачкообразное изменение ординат – скачок на величину момента этой пары. На эпюре Q это не отражается.

Алгоритм решения задач:

1. Необходимо определить опорные реакции балки.

2. Построить эпюру «Q».

3. Построить эпюру «М».

4. Подобрать для балки двутавровое сечение из условия прочности по нормаль-

ным напряжениям.

При подборе сечений следует производить проверку сечений с большим и мень-

шим моментами сопротивления, то есть оценивать степень недогрузки и перегрузки балки.

Пример 5. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки (рис.5), если F=20кН; m=8кНм; q=20кН/м. Подобрать двутавровое сечение, если σ_adm=150МПа.

R_Ay F=20кН R_Ву

m=8кНм q=20кН/м

1 А 2 3 В 4

0,8м 0,8м 1,6м 0,8м

+14 +16

Эп. Q(кН)

-6

3,2

Эп.Мu

-8 -6,4

1.Определяем опорные реакции R_Ay и R_Ву.

ΣМА=0;

-m+F·0,8-2,4+q·0,8·2,8=0;

R_By=(-m+F·0,8+q·0,8·2,8)/2,4=(-8+20·0,8+20·0,8·2,8)/2,4=22кН;

ΣМВ=0;

-m+R_Ay·2,4-F·1,6+0,8·q·0,4=0;

R_Аy=(m+F·1,6-0,8·q ·0,4)/2,4=14кН;

Проверка ΣF_iу=0;

R_Аy- F+ R_By- q·0,8=0;

14-20+22-20·0,8=0;

0=0;

2.Строим эпюру Q.

На первом участке Q₁=0;

На втором участке Q₂=R_Ау=14кН;

На третьем участке Q₃=R_Ау-F₁=14-20=-6кН;

На этих участках эпюра Q изображается горизонтальными линиями, параллельными оси.

Четвертый участок рассмотрим, взяв начало координат на правом конце балки:

Q₄=q_z, где 0≤Z≤0,8м

при Z=0; Q₄=0;

при Z=0,8м; Q₅= q_а=20·0,8=16кН.

Эпюра изображается наклонной прямой линией.

В точке В эпюра Q имеет скачок, равный опорной реакции R_By.

3.Строим эпюру Мu.

На первом участке.

М_u=-m=-8кНм;

На втором и третьем участках строим эпюру по значению изгибающему моментов на границах участков:

в сечении А

М_2u=- m=-8кНм;

в сечении С

М_2u=- m+ R_By·0,8=-8+14·0,8=3,2кНм;

в сечении В

М_3u=- m+ R_By·2,4- F·1,6=-8+14·2,4-20·1,6=-6,4кНм.

На первых трех участках эпюра М_u изображается прямыми линиями.

Для построения эпюры М_u на четвертом участке начало координат возьмем на правом конце балки; тогда

М_4u=-q_z²/2, где 0≤Z≤0,8м

при Z=0; М_4u=0;

при Z=0,8; М_4u=-q_z²/2=-6,4=-20·0,8²/2=-6,4кНм;

На четвертом участке эпюры М_u – дуга параболы.

4.Подбираем для балки двутавровое сечение.

σ_max=Mx_max/Wx≤σ_adm;

Wx ≥ Mx_max / σ_adm;

Wx=8·10⁶/150=53333,33мм³ =53,3см³

Двутавр 10 (Wx=39,7см³)

Действительное расчетное напряжение

σ_max=8·10⁶/39,7·10³=201,5МПа;

150МПа -100%

х=201·100/150=134%

201МПа – х%

перегрузка составила 34%, а допускается ≤ 5%; следовательно, прочность не обеспечена.

Двутавр №12 (Wx=58,4 см³)

Действительное расчетное напряжение

Wx=8·10⁶/54,8·10³=136,9МПа;

150МПа -100%

х=136,9·100/150=91,27%

136,9МПа – х%

Сечение не догружено на 8,73%. С точки зрения обеспечения прочности недогрузка ≤ 10%. Прочность балки обеспечена. Принимаем сечение – двутавр №12.