Решение:

Пусть - векторное пространство над полем . Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся скаляры , не равные нулю одновременно, такие, что . Система векторов называется линейно независимой, если из того, что следует .

а) Установим с помощью определения, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой. Пусть . Тогда

, т.е.

. Последнее равенство равносильно системе

. Решая систему методом Гаусса, получим ее общее решение где ℝ. Пусть, например,

. Тогда и, согласно определению, система векторов линейно зависима.

б) Установим линейную зависимость системы векторов при помощи матрицы из координат векторов. Для этого составим матрицу, строками которой являются координаты векторов системы, и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

∿ ∿

. Каждой строке ступенчатой матрицы соответствует некоторая линейная комбинация векторов . Поскольку в ступенчатой матрице имеется нулевая строка, то это означает, что найдется некоторая линейная комбинация , равная вектору , со скалярами , не равными нулю одновременно. Следовательно, система векторов является линейно зависимой.

Задание 3. Для данной системы векторов найти какой-нибудь базис и выразить через этот базис все векторы системы:

.

Решение:

Базисом системы векторов называется ее максимальная линейно независимая подсистема. Рангом системы векторов называется число векторов, образующих базис. Для нахождения ранга и базиса системы составим матрицу, строками которой являются координаты векторов , и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду. Справа от каждой строки будем записывать ее выражение через векторы . Это необходимо для дальнейшего разложения векторов по базису.

∿

∿

∿

Ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из координат этих векторов (ранг матрицы равен числу ненулевых строк после приведения ее к ступенчатому виду). Таким образом, ранг системы векторов

равен 3. Запишем один из базисов данной системы. Для этого выберем любые три вектора, входящие в линейные комбинации, соответствующие верхним строкам ступенчатой матрицы. Например, - один из базисов системы векторов . Найдем разложение вектора по базису . Для этого выпишем линейную комбинацию, соответствующую нулевой строке ступенчатой матрицы . Тогда .

Задание 4. Проверить, является ли множество ℝ} векторным пространством над полем ℝ относительно операций:

.

Если да, то установить его размерность и указать один из базисов.

Решение:

Пусть - поле. Множество называется векторным пространством над полем (элементы из называются, при этом, векторами и обозначаются и т.д., а элементы из поля называются скалярами), если выполняются следующие условия:

1. а) , для любых ,

б) , для любого , для любого ;

2. Множество является аддитивной абелевой группой, т.е.

а) , для любых ,

б) существует элемент такой, что , для любого ,

в) для любого существует такой, что ,

г) , для любых ;

3. Во множестве выполняются обобщенные дистрибутивные законы, т.е.

а) , для любых , для любого ,

б) , для любого , для любых ;

4. Во множестве выполняется обобщенный ассоциативный закон, т.е.

, для любого , для любых ;

5. Во множестве выполняется унитарный закон, т.е.

, для любого , где 1 – единичный элемент из .

Проверим, является ли множество ℝ} векторным пространством над полем ℝ относительно указанных операций.

1. а) Пусть . Тогда, согласно заданию операции сложения, , поскольку сумма действительных чисел есть число действительное.

б) Пусть , ℝ. Тогда, согласно заданию операции умножения векторов из на скаляры из ℝ, получим , поскольку ℝ.

2. Проверим, является ли множество является аддитивной абелевой группой:

а) Пусть . Тогда, в силу ассоциативности операции сложения на ℝ, получим

, т.е. операция сложения является ассоциативной на .

б) Поскольку ℝ, то во множестве существует вектор такой, что для любого выполняется

.

в) Так как для каждого действительного числа справедливо ℝ, то для любого существует такой, что

.

г) Пусть . Тогда, в силу коммутативности операции сложения на ℝ, получим

, т.е. операция сложения является коммутативной на .

Из а)-г) следует, что - аддитивная абелева группа.

3. Проверим выполнимость обобщенных дистрибутивных законов во множестве .

а) Пусть , ℝ. Тогда, в силу выполнимости дистрибутивных законов во множестве ℝ, получим

=

=

.

б) Пусть , ℝ. Тогда

=

=

.

4. Проверим выполнимость во множестве обобщенного ассоциативного закона. Пусть , ℝ. Тогда, в силу ассоциативности операции умножения на ℝ, получим

= =

= = .

5. Проверим выполнимость унитарного закона во множестве . Пусть . Тогда = = = , поскольку 1 – единичный элемент из ℝ. Таким образом, во множестве выполняется унитарный закон.

Из 1.-5. следует, что является векторным пространством над полем ℝ.

Напомним, что если в векторном пространстве над полем найдется такая конечная линейно независимая система , через которую линейно выражается каждый вектор из , то векторное пространство над полем называется конечномерным (n-мерным), а система называется базисом векторного пространства над полем . Число векторов, образующих базис векторного пространства , называется размерностью векторного пространства над полем и обозначается .

Проверим, является ли векторное пространство над полем ℝ конечномерным. Для этого достаточно найти во множестве хотя бы одну конечную линейно независимую систему векторов, через которую линейно выражается каждый вектор из . Поступим следующим образом. Рассмотрим произвольный вектор из и попытаемся представить в виде линейной комбинации векторов, координатами которых являются 1 и 0: . Пусть . Тогда , т.е. каждый вектор из является линейной комбинацией векторов .

Покажем, что система линейно независима. Действительно, пусть . Тогда

, , , .

Отсюда следует, что , . Тем самым установлено, что система является линейно независимой. Таким образом, - базис векторного пространства над полем ℝ, и значит, - двухмерное векторное пространство над полем ℝ, т.е. .

Задание 5. Проверить, является ли множество L подпространством векторного пространства V над полем ℝ. Найти базис и размерность подпространства L над ℝ:

ℝ , ℝ