МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ВОСТОЧНОУКРАИНСКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА

имени ВЛАДИМИРА ДАЛЯ

( г.СЕВЕРОДОНЕЦК )

Кафедра высшей и прикладной математики

БОГДАНОВ А.Е.

КУРС ЛЕКЦИЙ

по дисциплине

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

(Линейная алгебра и аналитическая геометрия).

Для студентов дневной и заочной форм обучения

направления подготовки 6.050102

«Компьютерная инженерия»

УТВЕРЖДЕНО

на заседании кафедры

высшей и прикладной

математики

Протокол № 5 от 09.02.2011г.

СЕВЕРОДОНЕЦК 2011

УДК 519

Курс лекций по дисциплине «Высшая математика» (Линейная алгебра и аналитическая геометрия). Для студентов дневной и заочной форм обучения направления подготовки 6.050102 «Компьютерная инженерия» (электронное издание) /Сост. А.Е.Богданов - Северодонецк: ТИ ВНУ имени Владимира Даля, - 2011. – 163 с.

Составитель: А.Е. Богданов, доц.

Ответственный за выпуск: О.В. Поркуян, доц.

Рецензент: А.И. Иванов, доц.

Содержание

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

§ 1. Определители………………………………………………..5

§ 2. Правило Крамера……………………………………………11

§ 3. Матрицы……………………………………………………...14

§ 4. Матричная форма системы линейных уравнений…………20

§ 5. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы…………………...23

§ 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса…24

§ 7. Исследование системы т линейных уравнений

с п неизвестными…………………………………………...28

§ 8. Понятие вектора…………………………………………….. 31

§ 9. Двумерные векторы (векторы на плоскости)………………35

§ 10. Трехмерные векторы (векторы в пространстве)……………39

§ 11. Понятие п-мерного вектора. Линейное пространство…….42

§ 12. Скалярное произведение векторов………………………….48

§ 13. Векторное произведение векторов………………………….50

§ 14. Смешанное произведение векторов…………………………54

§ 15. Линейный оператор…………………………………………..56

§ 16. Евклидово пространство……………………………………..67

§ 17. Квадратичные формы………………………………………...77

ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Комплексные числа…………………………………………..85

§ 2. Многочлены…………………………………………………..98

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

§ 1. Уравнение линии…………………………………………….105

§ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом……………109

§ 3. Общее уравнение прямой…………………………………...113

§ 4. Кривые второго порядка…………………………………….119

§ 5. Классификация кривых второго порядка…………………..127

§ 6. Приведение общего уравнения кривой второго

порядка к каноническому виду……………………………..128

ГЛАВА 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Уравнение поверхности……………………………………..138

§ 2. Плоскость……………………………………………………138

§ 3. Прямая в пространстве……………………………………...142

§ 4. Взаимное расположение прямой и плоскости…………….145

§ 5. Поверхности второго порядка……………………………...147

§ 6. Приведение общего уравнения поверхности второго

порядка к каноническому виду…………………………….155

§ 7. Метод сечений………………………………………………160

ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………….163

Глава 1. Линейная алгебра

§ 1. Определители

Определителем 2-го порядка называется число вида

Δ = |a_ik| = = а₁₁а₂₂ − а₁₂а₂₁. (1)

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ − элементы определителя.

а₁₁ а₁₂ − 1-я строка, а₂₁ а₂₂ − 2-я строка,

− 1-й столбец, − 2-й столбец.

Элемент a_ik стоит на пересечении i-й строки и k-ого столбца, т.е. i − номер строки, k − номер столбца.

а₁₁ а₂₂ − главная диагональ, а₁₂ а₂₁ − побочная диагональ.

Пример.

□ Δ = = 4 − (−3)(−1) = 8 − 3 = 5. ■

Определителем 3-го порядка называется число вида

Δ = |a_ik| = = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₃а₂₁а₃₂ + а₁₂а₂₃а₃₁ − а₁₃а₂₂а₃₁ −

− а₁₁а₂₃а₃₂ − а₁₂а₂₁а₃₃. (2)

Все сказанное для определителя 2-го порядка справедливо и для определителя 3-го порядка.

Вычисление определителя 3-го порядка:

1) “правило треугольников”

(+) (−)

2) “правило Саррюса”

(−) (−) (−) (+) (+) (+)

Пример.

□ Δ = = 1∙3∙1 + 4∙1∙8 + 2∙5∙1 − 5∙3∙8 − 1∙1∙1 − 4∙2∙1 = 3 + 32 +

+ 10 −120 − 1 − 8 = 45 − 129 = − 84. ■

Существуют определители более высоких порядков.

Определителем п-го порядка называется число вида

Δ = |a_ik| = . (3)

Свойства определителей

1⁰. Величина определителя не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами:

= .

2⁰. Величина определителя меняет знак, если у него поменять местами две строки (столбца):

= − .

3⁰. Общий множитель, присутствующий в строке или столбце, можно выносить за знак определителя:

= k .

4⁰. Величина определителя равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю:

= 0∙а₂₂ − 0∙а₂₁ = 0.

5⁰. Величина определителя равна нулю, если элементы двух строк (столбцов) соответственно равны (пропорциональны):

= а₁₁а₁₂ − а₁₂а₁₁ = 0.

Пусть задан определитель 3-го порядка

Δ = .

Зачеркнем (мысленно), например, 1-ую строку и 2-ой столбец в этом определителе:

.

В результате получим определитель 2-го порядка

,

который называют минором элемента а₁₂ и обозначают М₁₂. В общем случае зачеркивают i-ую строку и k-ый столбец. В результате получают минор М_ik элемента а_ik.

Величина

А_ik = (−1)^i+kМ_ik

называется алгебраическим дополнением элемента а_ik.

6⁰. Сумма произведений элементов а_ik некоторой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя

Δ = , (i = 1, 2,…, n);

Δ = , (k = 1, 2,…, n).

○ Пусть задан определитель 3-го порядка

Δ = .

Рассмотрим, например, 3-ю строку определителя. Согласно условию свойства 6⁰ имеем:

= а₃₁А₃₁ + а₃₂А₃₂ + а₃₃А₃₃ = а₃₁(−1)³⁺¹ +

+ а₃₂(−1)³⁺² + а₃₃(−1)³⁺¹ = а₃₁ −

− а₃₂ + а₃₃ = а₃₁(а₁₂ а₂₃ − а₁₃ а₂₂) −

− а₃₂(а₁₁ а₂₃ − а₁₃ а₂₁) + а₃₃(а₁₁ а₂₂ − а₁₂ а₂₁) = Δ. ●

Замечание 1. Свойство 6⁰ называют разложением определителя по строке (столбцу).

Замечание 2. Если все элементы определителя, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю (ступенчатый вид определителя), то Δ = а₁₁а₂₂ ∙ …∙ а_пп.

Пример. Вычислить определитель

Δ = .

□ Разложим определитель, например, по третьему столбцу

= 5(−1)¹⁺³ + 1(−1)²⁺³ + 1(−1)³⁺³ = 5(2 − 24) −

− 1(1− 32) + 1(3 − 8) = −110 + 31 − 5 = 31 − 115 = − 84. ■

7⁰. Сумма произведений элементов а_ik некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равно нулю

= = 0,

(i j, i, j = 1, 2, … , n).

○ Покажем это свойство на определителе 2-го порядка:

Δ = = а₁₁ (−1)²⁺¹а₁₂ − а₁₂ (−1)²⁺²а₁₁ = − а₁₁ а₁₂ + а₁₂ а₁₁ = 0. ●

8⁰. Два определителя одинакового порядка, отличающихся только одной строкой (столбцом), можно складывать. В результате получится определитель того же порядка

○ Рассмотрим определители 3-го порядка. По условию

Δ₁ + Δ₂ = + = = Δ.

Действительно, разлагая данные определители по элементам 3-го столбца, получим

Δ₁ + Δ₂ = + = = Δ. ●

9⁰. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число k.

○ Например,

= + k = Δ + k∙0 = Δ,

Δ – величина определителя 3-го порядка. ●

Замечание. Свойство 9⁰ позволяет понизить порядок заданного определителя.

Пример. Вычислить определитель

Δ = .

□ Умножим 1-ую строку на −2 и сложим со 2-ой строкой; умножим 1-ую строку на −8 и сложим с 3-ей строкой. Потом разложим полученный определитель по 1-ому столбцу:

Δ = = = 1∙А₁₁ + 0∙А₂₁ + 0∙А₃₁ =

= = = 5∙39 − 9∙31 = −84. ■

10⁰. Два определителя одного порядка можно перемножать. В результате получится определитель того же порядка.

○ Рассмотрим определители 2-го порядка:

Δ₁ ∙Δ₂ = ∙ = = Δ. ●

Замечание. Говорят, что элемент искомого определителя Δ, стоящий на пересечении i-й строки и k-ого столбца равен произведению i-й строки определителя Δ₁ на k-ый столбец определителя Δ₂. На самом деле это есть сумма произведений элементов i-й строки определителя Δ₁ на соответствующие элементы k-ого столбца определителя Δ₂.